In welchen Punkten liegt die Tangentialebene an die Fläche F senkrecht zur (1,0,-1)- Richtung?

Question

In welchen Punkten liegt die Tangentialebene an die Fläche F: z= f(x,y)= x^3 +3xy -y^2 x^3 senkrecht zur (1,0,-1)- Richtung?

Answer 1

In welchen Punkten liegt die Tangentialebene an die Fläche F: z= f(x,y)= x³ +3xy -y² x³ senkrecht zur (1,0,-1)- Richtung?

Also ist  (1,0,-1)^T ein Normalenvektor der Tang.eb.

Als implizite Funktion hast du ja    x³ +3xy -y² x³ - z = 0

Dann muss der Gradient der zugehörigen Funktion mit 3 Variablen

ein Vielfaches von  (1,0,-1)^T sein. Siehe z.B. 

http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Differentialrechnung_mehrerer_Veraenderlicher/Folien_Tangentialebene.pdf

Folie 2

Der grad ist ( 3x² + 3y - 3x²y² ; 3x-2yx³ ; -1 )

also muss gelten :

3x² + 3y -  3x²y² = 1     und   3x-2yx³ =0

3x² + 3y - 3x²y² = 1     und   x*(3-2yx² ) =0

1. Fall x=0  Da gibt die 1. Gleichung 3y=-1  ==  y = 1/3

also den Punkt   (  0 ; 1/3 ; 0 ) .

2. Fall    3-2yx² = 0 also  wegen x≠0   y = 3/ (2x²)

bei 1 einsetzen  gibt  3x² +  9/ (2x²) - 3x^{2 *}  (3/ (2x²))= 1

da bekomme ich x = ± 1,024