Tangentialebenen sollen senkrecht zu einer Fläche sein zur Richtung (0,2,-1).

Question

Frage: In welchen Punkten der Fläche F : z = f(x,y) = x^2 y + 1/2 y^2 +4 liegen die Tangentialebenen senkrecht zur Richtung (0,2,-1) ?


Ich denke der Gradient wird hier benötigt ;

∇f(x,y,z) = 2xy
                 x^2 +y
                 -1

danke für die Hilfe.

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Ebenen, die senkrecht auf (0,2,-1)  stehen, haben die Koordinatengleichung:

0*x + 2*y - 1 * z = d .

Also 2y - z = d . 

Nützt dir das etwas? 

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und in 2y -z = d setzte ich dann was ein ?

den Gradient ? Sorry, ich komme damit nicht so recht weiter.

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Wenn ich meine Gleichung nun "partiell ableite", komme ich auch auf (0, 2, -1 ) und kann das dann mit dem Vielfachen des Gradienten gleichsetzen. D.h. eigentlich wohl zumindest ein Umweg, den ich mir sparen könnte ;)

Answer 1

In welchen Punkten der Fläche F : z = f(x,y) = x² y + 1/2 y² +4 liegen die Tangentialebenen senkrecht zur Richtung (0,2,-1) ? 

Also ist  (0,2,-1)^T ein Normalenvektor der Tang.eb.

Als implizite Funktion hast du ja     x² y + 1/2 y² +4  - z = 0

Dann muss der Gradient der zugehörigen Funktion mit 3 Variablen

ein Vielfaches von  (0,2,-1)^T sein. Siehe z.B. 

http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Differentialrechnung_mehrerer_Veraenderlicher/Folien_Tangentialebene.pdf

Folie 2

Der grad ist ( 2xy ; x² +y  ;   -1 )

also muss gelten :

2xy = 0          und   x² + y= 2

1. Fall x=0  Da gibt die 2. Gleichung y=2

also den Punkt   (  0 ; 2 ; 6 ) .

2. Fall    y = 0 also  x² = 2

also    x = ±√2

Punkte ( √2 ; 0 ; 4) und  ( -√2 ; 0 ; 4)

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Daumen hoch von mir :-)