Bestimmung von Vektoren? Komponente ab von a, die senkrecht zur Richtung von b liegt?

Question

,

 

könnt ihr mir bitte bei den Vektoren helfen?

 

a=(-4;-8;8)     b=(-4;0;-3)

 

Bestimmen die Längen der beiden Vektoren?

Bestimmen die Komponente a_b von a, die senkrecht zur Richtung von b liegt?

 

Vielen vielen Dank.

Answer 1

a=(-4;-8;8)     b=(-4;0;-3)  
Vektoren im Folgenden fett.

Bestimmen die Längen der beiden Vektoren?

|a| = √(16+64+64) = √144 = 12

|b|=√(16 + 9) = 5

Bestimme die Komponente a_b von a, die senkrecht zur Richtung von b liegt?

Projektion von a auf b: v = (a*b)* b/|b|          

vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt (Achtung dort ist a_b die Länge der Projektion von a auf b!)

wegen a=(-4;-8;8)     b=(-4;0;-3)

v=(16 + 0-24) (-4,0,-3)/5 = -8/5(-4,0,-3) = 8/5(4,0,3)

a_b = -v+a = -8/5(4,0,3) + (-4,-8,8)

= (-10.4; -8; 3.2)

ohne Gewähr. Bitte sorgfältig nachrechnen.

Comments

Der Beitrag ist ja schon älter, aber da ich dieses Problem nicht kannte, habe ich mir die Lösungen hier ansehen wollen.

Die Lösung von Lu enthält leider einen kleinen Fehler, und falls mal wieder Jemand darüber stolpert, soll hier die richtige Lösung zu finden sein: In der Formel für die Projektion von a auf b fehlt ein Quadrat, sie müsste richtig lauten: v = a*b* b/|b|²

Dadurch ergibt sich v=(16 + 0-24) (-4,0,-3)/25 = -8/25(-4,0,-3) = 8/25\(4,0,3)

Somit ist dann a_b = -v+a = -8/25(4,0,3) + (-4,-8,8) = (-5.28, -8,7.04)

Gruß, GKS1962

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Hier zur Veranschaulichung mit Geogebra dargestellt:

https://www.geogebra.org/m/p94v2pua

Answer 2

1) Die Länge eines Vektors v ist definiert durch die euklidische Norm:

|| v || = √  ( a₁² + a₂² + ... + a_n² )

Vorliegend also:

|| a || = √ ( ( - 4 ) ² + ( - 8 ) ² + 8 ² ) = √ 144 = 12

bzw.

|| b || = √ ( ( - 4 ) ² + ( 0 ) ² + ( - 3 ) ² ) = √ 25 = 5

 

2) Die y-Komponente von b hat den Wert 0, dass bedeutet, dass b in der x-z-Ebene liegt. Die Komponente des Vektors a , die senkrecht zur Richtung des Vektors b liegt ist daher die y-Komponente also:

a_b = - 8

Comments

a_b = - 8

ist doch erst mal die Länge der Projektion von a auf b. Oder? Ich habe hier einen (andern) Vektor rausbekommen.

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Nun, es wurde doch aber nach einer Komponente von a gefragt, nicht nach einem Vektor. Ich habe die Frage also so aufgefasst, dass man nicht etwa einen Vektor bestimmen soll, der auf der Richtung von b senkrech steht, sondern dass man diejenige Komponente von a angeben soll, die senkrecht auf dieser Richtung steht - und das ist bei einem gegebenen Vektor b in der x-z-Ebene nun einmal die y-Komponente.

Ich will aber nicht ausschließen, dass ich mit meiner Interpretation daneben liege ...