0 Daumen
441 Aufrufe
Für die Gleichungen 1., 2., 3. und 4.Grades lassen sich Lösungsformeln ableiten. Für eine Gleichung 5. Grades ist mir kein Beispiel für einen Lösungsweg mit der Galois-Theorie bekannt. EIne Gleichung 5. Grades könnte zum Beispiel entstehen, wenn der Effektivzins eines über 5 Jahre laufenden Ratenvertrages berechnet werden soll.
Gefragt von

2 Antworten

0 Daumen
0 Daumen
Wenn ich mich nicht irre, wurde mathematisch bewiesen, dass sich Gleichungen ab 5. Grad nicht mit Lösungsformeln lösen lassen!
Beantwortet von

In der Tat, eine allgemeine Lösungsformel gibt es wohl nicht für Gleichungen 5. Grades, die ist allerdings auch gar nicht gesucht. Es soll aber nach der Galois-Theorie eine Lösung bestimmter Gleichungen 5. Grades möglich sein. Mich wuerde einmal ein Beispiel interessieren.

Übrigens gilt folgendes: cos (5phi) = 16 (cos phi)^5 -20 (cos phi)^3 +5 (cos phi)

und  2cosh (5u) = e^{5u} +e^{-5u} = (e^u +e^{-u})^5 -5 (e^u +e^{-u})^3 +5 (e^u +e^{-u})

= (2cosh(1u))^5 -5 (2cosh(1u))^3 +5 (2cosh(1u))

Das heißt, wenn eine Gleichung in der Form x^5 -5 x^3 +5 x +q = 0 (q beliebig reell) vorliegt oder auch allgemeiner in der Form x^5 -5 k x^3 +5 k^2 x +q = 0 (k beliebige positiv reell, q beliebig reell) vorliegt, dann ließe sich diese prima lösen:

x1 = 2 *(k)^{1/2} * cos (1phi)

mit  -2 * (k)^{5/2} * cos (5phi) = q, also

bzw.

x1 = 2 *(k)^{1/2} *cosh (1u)

mit -2*(k)^{5/2} * cosh (5u) = q

x1 = 2 * (k)^{1/2} * cos ( 1/5 acos (-q/2/(k)^{5/2}) ) falls |-q/2/(k^{5/2})| <= 1

bzw

x1 = 2 * (k)^{1/2} * cosh ( 1/5 acosh (-q/2/(k)^{5/2}) ) falls |-q/2/(k^{5/2})| > 1  und q < 0

Falls q > 0 , so gilt, das x1 negativ ist:

x1 = -2 * (k)^{1/2} * cosh ( 1/5 acosh (+q/2/(k)^{5/2}) ) falls |cos (5phi)| > 1 und q > 0

 

Da zudem gilt 

2*sinh (5u) = e^{5u} -e^{-5u} = (e^u -e^{-u})^5 +5 (e^u -e^{-u})^3 +5 (e^u -e^{-u})

 = (e^{5u} -e^{-5u} -5(e^{3u} -e^{-3u}) +10(e^u -e^{-u})

 + 5 ( e^{3u} -e^{-3u} -3(e^u -e^{-u}) )

+5(e^u -e^{-u})

kann eine Gleichung der Form x^5 +5 x^3 +5 x +q = 0 (q beliebig reell) oder allgemeiner in der Form

x^5 +5 k x^3 +5 k^2 x +q = 0 (k beliebig positiv reell, q beliebig reell) ebenfalls gelöst werden:

x1 = 2 * (k)^{1/2} * sinh (1u)  mit  -2 * (k)^{5/2} * sinh (5u) = q, also

x1 = 2 * (k)^{1/2} * sinh ( 1/5 arsinh (-q/2/(k^{5/2}) )

 

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...