Integral von sin(x) * cos(x)^4 im Intervall von 0 bis Pi/4

Question

Hi, ich muss folgendes Integral bilden:

₀ ^π/4 ∫ sin x • cos⁴ x dx

Hierfür wollte ich für u = cos(x) einsetzen, sodass ich für dx = du / -sin(x) erhalte

Somit ₀ ^π/4 ∫ sin x • u⁴ • du / -sin(x) ... dies ergibt dann [ - 1/5 • u⁵ ] ^π/4 ₀ ... aber wenn ich für cos jetzt π/4 eingebe, kommt da ein sehr ungerades ergebnis raus, welches ich gar nicht in Bruch angeben kann. Könnte man das Integral etwas besser lösen?

Answer 1

Du musst auch die Grenzen mit Substituieren

[- u^5/5] (cos(0) bis cos(pi/4))

= [- u^5/5] (1 bis √2/2)

= - (√2/2)^5/5 - (- 1^5/5) = - √2/40 + 1/5

Comments

Wie kommt man denn von - (√2/2)⁵/5 auf - √2/40?

---

(√2/2)⁵/ 5  =  (√2)⁵ / (32 * 5)  = 4 * √2 / (32 * 5) = √2/40

Answer 2

Hallo Martin,

eigentlich sieht man die Stammfunktion sofort (#) , aber mit Substitution:

₀∫^π/4  sin(x) * cos⁴(x)  dx     ,      z = cos(x)  →  dz/dx = -sin(x)  → dx = -  dz/ sin(x) 

Einsetzen:

_z1∫^z2  sin(x) * z⁴ * - dz / sin(x)   =  - _z1∫^z2 z⁴ dz  = - [ 1/5 z⁵ ]_z1^z2

             = - [  1/5 cos⁵(x) ]₀^π/4  =  1/5 - √2/40

-------------

(#)   ∫ - u' * u⁴  =  - 1/5 * u⁵ + c  

--------------

Nachtrag: Sorry, Hatte nur Das "Rechteck" gelesen. War etwas zu langatmig :-) 

Gruß Wolfgang