Ungerade Augensumme gewinnt. Mindestens drei von 12 Spielen gewinnen.

Question

Bei einem Glücksspiel mit einem Würfel, der drei mal die Ziffer eins, zwei mal die Ziffer zwei und ein mal die Ziffer drei zeigt, wird dieser genau zwei mal geworfen. Man gewinnt wenn man eine ungerade Augensumme würfelt.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man bei 12 Spielen mindestens drei mal? 

b) Wie oft muss man spielen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% wenigstens ein mal zu gewinnen?

c) Es werden n Spiele ausgeführt. Von welchem n > 3 ab ist die Wahrscheinlichkeit, genau drei Spiele zu gewinnen, größer als genau zwei Spiele zu gewinnen?

 

Comments

Man gewinnt wenn man eine ungerade würfelt.

Ah ja. was ist genau gemeint?

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Gemeint ist die Augensumme. Man hat ja die Möglichkeit die Augensummen zwei, drei, vier, fünf, sechs mit zwei mal würfeln zu Erzielen. Bei einer ungeraden Augensumme also bei drei und fünf gewinnt man das Spiel anderenfalls nicht. 

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EDIT: Habe nun oben an drei Stellen Augensumme eingefügt. Vermutlich wirst du gelegentlich eine Antwort erhalten. 

Answer 1

Grobe Skizze zu c): Mit der Bernoulli-Formel muss gelten:

$$ \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} \cdot p^3 \cdot \left(1-p\right)^{n-3} \gt \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot p^2 \cdot \left(1-p\right)^{n-2} $$Umfangreicheres Kürzen der Ungleichung ergibt

$$ \dfrac{n-2}{3} \gt \dfrac{1-p}{p} $$und weiter aufgelöst

$$n \gt \dfrac{3 \cdot (1-p)}{p} + 2 $$oder

$$n \gt \dfrac{3-p}{p}.$$Das kleinste \(n\gt3\), dass obige Ungleichung erfüllt, ist gesucht.

Answer 2

Bei mir sieht das wie folgt aus

Comments

Hi, deine Umformungen zu c) sind recht kompliziert. Du könntest eigentlich n*(n-1) sofort herauskürzen und erhältst eine lineare Ungleichung.

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Meine Rechnung bezieht sich zunächst darauf das n eine reelle Zahl ist und nicht notwendigerweise > 3 ist. Daher ist in meiner Lösung auch 0 < n < 1 angegeben obwohl das natürlich keinen Sinn macht.

Es macht aber wie du sagst Sinn, wenn man das handschriftlich rechnet und nicht vom PC machen lässt.

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Warum ist  P(X=2) = 6/30  und nicht  6/24 ?

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P(Augensumme = 2) = P(11) = 3/6 * 2/5 = 6/30

Wie rechnest du denn ?

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Ist ein Würfel mit nur noch fünf Flächen denn immer noch ein Würfel ?

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Ops. Vielen lieben Dank für dein wachsames Auge. Ich werde das mal verbessern.

Ich habe gleich noch die Verbesserung von az0815 mit eingearbeitet. Auch ein herzlichen Dank an Ihn.