Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix für die Basis B

Question

Aufgabe:

Auf dem Vektorraum \( \mathbb{R}_{\lessdot 2}[x]=\left\{a x^{2}+b x+c | a, b, c \in \mathbb{R}\right\} \) definieren wir eine lineare Abbildung \( \varphi \) durch
\[
\begin{aligned}
\varphi: \mathbb{R}_{\leqslant 2}[x] & \rightarrow \mathbb{R}_{\leqslant 2}[x] \\
p(x) & \mapsto p(2 x-1)
\end{aligned}
\]
Das heißt \( \varphi\left(a x^{2}+b x+c\right)=a(2 x-1)^{2}+b(2 x-1)+c \)
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( [\varphi]_{B}^{B} \) für die Basis \( B=\left\{1, x, x^{2}\right\} \)

Ich bitte euch um eine ausführliche Lösung, am besten mit einigen Erklärungen und Kommentaren zu dem Vorgehen bei einer solchen Aufgabe.

Comments

Einen Ansatz wofür?

Du hast danach gefragt wie man das macht. Dafür gibt es allgemeine Verfahren, die man im konkreten Fall anwendet.

Aber was für eine Antwort erhoffst du dir hier? Insbesondere wieso und in welcher Hinsicht soll die besser sein als das was u.a. in Skripten und Büchern steht, die extra dazu geschrieben wurden so etwas zu erklären?

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Ja, das ganz normale STandardverfahren anwenden, wie es z.B. Im Wikipedia-Artikel zur Darstellungsmatrix steht.

Man könnte dir wohl weiterhelfen, wenn du die Fragen konkreter stellst.
 Z.B. suche dir eine Quelle für ein Vorgehen und sage was du daran nicht verstehst.

So ist die Frage viel zu allgemein (wie "Mein Computer funktioniert nicht. Was soll ich machen?")

Answer 1

φ(1)  = 1     =  1*1 + 0*x + 0*x²
φ(x)  =  2x-1= - 1*1+ 2*x + 0*x²
φ(x²)=(2x-1)²= 1*1-4*x +4*x²
Daher sieht die Darstellungsmatrix so aus:[φ]^B_B=

1	-1	1
0	2	-4
0	0	4