Paul Eigenmann, Aufgabe 152/1

Question

Aufgabe:

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.4.152, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 22.

Problem/Ansatz:

Stichwort Kreissegment: s = 2 √ (2rh - h2)
mit s = 2  , r = x - 7    und   h = r - x/√2  lautet diese Gleichung

2 = 2 √ (2 ( (x-7)  ( (x-7) - x/√2) ) - ( (x-7) - x/√2)2)

Wer kann sie nach x auflösen ohne sich zu verheddern?

Rechengang bitte zeigen.

Comments

Ich würde Deine erste Formel für h in die Ausgangsformel für s einsetzen und vereinfachen.

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Ich würde Deine erste Formel für h in die Ausgangsformel für s einsetzen und vereinfachen.

Was willst du damit sagen?

Ich habe die von x abhängigen Ausdrücke für r und h doch in die Ausgangsformel für s eingesetzt. De erhaltene lange Gleichung zu vereinfachen und nach x aufzulösen, war mein Anliegen an die Blog-Gemeinschaft, wissend, dass das vermutlich als Unverschämtheit abgewiesen wird.

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Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 24 \, \text{cm} \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

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Z.B. so: erst s einsetzen und vereinfachen, dann quadrieren, dann quadratische Ergänzung und dann erst x einsetzen. Die quadratische Gleichung am Ende stimmt mit der von abakus überein.

\( \begin{array}{l}s=2 \sqrt{2 r h-h^{2}} \\ 1=2 r h-h^{2} \\ (h-r)^{2}-r^{2}+1=0 \\ x^{2}-28 x+96=0\end{array} \)

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Die von Dir aufgestellte Gleichung

\(\displaystyle  2 = 2 \cdot \sqrt{ 2 \cdot \overbrace{(x-7)}^{r} \cdot \overbrace{( (x-7) - x/√2)}^{h}  - \overbrace{((x-7) - x/√2) ^2}^{h^2}} \)

für die Kreissehne hat die Lösungsmenge

\( \displaystyle \{4, \; 24\} \)

und es könnte lohnend sein zu überlegen, wie die Zeichnung mit x = 4 aussehen würde.

Da Du danach gefragt hast: Lösen könnte man die Gleichung, nach dem Quadrieren, so:

\(\begin{aligned} &&1+ \overbrace{\vphantom{\mid}((x-7) - x/√2) ^2}^{h^2} &= \overbrace{\vphantom{\mid}2 \cdot (x-7) \cdot ( (x-7) - x/√2)}^{2rh} \\\\ &\Longleftrightarrow & (3/2-\sqrt{2} ) x^2 + (7 \sqrt{2}-14) x + 50 &= (2-\sqrt{2}) x^2 + (7 \sqrt{2}-28) x + 98 \\\\ &\Longleftrightarrow & -1/2 x^2 + 14 x - 48 &= 0 \\\\ &\Longrightarrow & x_{1,\; 2} &= (4, \; 24) \end{aligned} \)

Nachtrag: Ich sehe gerade, Abakus hat sich das für x = 4 auch überlegt, und seine Zeichnung unten eingestellt.

Answer 1

Ich sehe nicht, dass man sich mit deiner Gleichung

2 = 2 √ (2 ( (x-7)  ( (x-7) - x/√2) ) - ( (x-7) - x/√2)2)

beschäftigen müsste.

Ich würde die Gleichung \(1^2+ ( \frac{\sqrt{2}}{2}x)^2=(x-7)^2 \) lösen.

(Mein eingezeichnetes Dreieck ist rechtwinklig, die blaue Strecke ist die halbe Quadratdiagonale.)

Dabei komme ich auf

1+ 0,5x²=x²-14x + 49

0 = 0,5x² - 14 x + 48

mit den beiden Lösungen x=4 (entfällt wegen x-7>0) und x=24.

Nachtrag:

Die Lösung x=4 funktioniert als entartete Variante irgendwie auch.

Comments

Ich sehe nicht, dass man sich mit deiner Gleichung beschäftigen müsste.

Natürlich nicht, denn Du hast einen einfacheren Lösungsweg erkannt.

Ich hatte mich in der Zwischenzeit auf meinem Weg doch noch durchgekämfpt, und darauf bin ich stolz.

Answer 2

Pythagoras

((x/2)^2 + (x/2)^2) + 1^2 = (x - 7)^2 → x = 24 cm

Das Dreieck entsteht aus der linken oberen Quadrat-Ecke, dem Quadratmittelpunkt und dem Schnittpunkt des Kreises mit der Diagonale.

Deine Gleichung liefert auch die richtige Lösung ist aber viel zu kompliziert.

Comments

So sieht es maßstabsgerecht aus:

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Du hast zweimal den Pythagoras in zwei verschiedenen Dreiecken angewendet. Man kann es aus

((x/2)² + (x/2)²) + 1² = (x - 7)² → x = 24 cm,

schließen, aber nicht weder aus Deinem Text noch aus Deiner Zeichnung.

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Du hast zweimal den Pythagoras in zwei verschiedenen Dreiecken angewendet.

Ich habe als Tipp Pythagoras gegeben. Und der Formel kann man entnehmen, dass ich einen Term geklammert habe, obwohl es nicht notwendig ist.

Offensichtlich hast du aber verstanden, was ich da gemacht habe. Und das ist ein schritt um ein Verständnis zu entwickeln wie man bei Problemen vorgehen kann.

Meine Lösungen hier auf der Plattform enthalten meistens einen Ansatz und eine Lösung. Ich erkläre die Ansätze meist nicht, weil ich denke, dass ein Schüler bereits daraus lernt, wenn er solche Terme selber interpretiert.

So entwickle ich auch unter anderem Aufgaben. Dort wird also ein Ansatz vorgegeben und Aufgabe ist es dann, nur zu sagen, was genau im Sachkontext mit diesem Ansatz berechnet werden soll.