Quadratische Ergänzung: Lösungsmenge bestimmen für 3x²+24x+21=0

Question

ich brauch Hilfe bei dieser Aufgabe 10) Bestimme mithilfe der quadratischen ergänzung die lösungsmenge. a) 3x ²+24x+21= 0 b) 2x ²+2x-12= 0 c) 1/4x ²+3x-7 = 0

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ich verzweifle gerade :( bitte helft mir ..

Answer 1

Die Methodik ist bei dieser Art von Aufgaben immer die Gleiche. Ich führe sie Schritt für Schritt am Beispiel des Aufgabenteils a) vor:

3 x ² + 24 x + 21 = 0

[Dividiere die Gleichung durch den Koeffizienten des quadratischen Gliedes (dadurch wird dieser Koeffizient zu 1 ) : ]

<=> x ² + 8 x + 3 = 0

[Bringe das absolute Glied auf die andere Seite des Gleichheitszeichens: ]

<=> x ² + 8 x = - 3

[Die Gleichung hat dann diese Form: x ² + b x = c
Nun wird die quadratische Ergänzung E bestimmt: Dividiere dazu das lineare Glied durch 2 x und quadriere das Ergebnis:]

Nebenrechnung: E = ( 8 x / 2 x ) ² = 4 ² = 16

[Das ist die quadratische Ergänzung. Diese wird auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens addiert:]

<=> x ² + 8 x + 16 = - 3 + 16 = 13

[Nun kann die linke Seite mit Hilfe der ersten oder der zweiten binomischen Formel zusammengefasst werden, vorliegend bietet sich die erste an, weil das lineare Glied ein positives Vorzeichen hat: ]

<=> ( x + 4 ) ² =  13

[Wurzel ziehen:]

<=> x + 4 = +/- √ ( 13 )

[auf beiden Seiten 4 subtrahieren:]

<=> x = +/- √ ( 13 ) - 4

Die Lösungsmenge ist also:

L = { x ∈ R | x = - √ ( 13 ) - 4 ODER x = + √ ( 13 ) - 4 }


Genauso macht man das auch mit den anderen Aufgaben.
Sollte nach der Addition der quadratischen Ergänzung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens eine negative Zahl stehen, dann hat die Gleichung keine reelle Lösung.

Comments

3x² + 24x + 21 = 0    Nach der ersten Änderung sollte es eigentlich heißen

  x² +   8x +  7 = 0    Dementsprechend muss

  x = √9 - 4 = -1

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Ooops - völlig richtig.

21 / 3 = 7

und  nicht 3. Wer rechnen kann ist klar im Vorteil :-)

Vielen Dank für den Hinweis!

 

Also das Ganze noch einmal in unkommentierter, dafür aber korrigierter Form:

3 x ² + 24 x + 21 = 0

<=> x ² + 8 x + 7 = 0

<=> x ² + 8 x = - 7

<=> x ² + 8 x + 16 = - 7 + 16 = 9

<=> ( x + 4 ) ² = 9

<=> x + 4 = ± 3

<=> x = - 3 - 4 = - 7 oder x = 3 - 4 = - 1

Die Lösungsmenge ist also:

L = { - 7 ; - 1 }

Answer 2

Mit der quadratischen Ergänzung bestimmt man den Scheitelpunkt oder ist hier fakortieren gemeint.

a) 3(x+1)*(x+7)    oder 3(x+4)²-27

b)2(x-2)*(x+3)

c) 1/4 (x-2) *(x+14)

Comments

hä..oh man ich bin gerade verwirrt :((

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@Akelei: Es sind drei quadratische Gleichungen gegeben. Bestimmt werden soll jeweils deren Lösungsmenge.

Üblicherweise macht man das mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel.
Es geht aber auch "zu Fuß" mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (siehe meine Antwort).

Answer 3

Also bei mir im Mathebuch (Lambacher Schweizer) steht das ganz einfach beschrieben (allerdings ohne Verwendung der quadratischen Ergänzung):

Man muss die sogenannte Diskriminante benutzen, und zwar den Teil unter der Wurzel von der pq-Formel: (p/2)²-q.

Ist die Diskriminante > 0, so liefert die Formel für x₁  und x₂ verschiedene Werte, es gibt also ZWEI Lösungen.

Ist die Diskriminante = 0, gibt es für x₁  und x₂ denselben Wert,  es gibt also EINE Lösung.

Ist die Diskriminante < 0, kann man keine Wurzel ziehen (weil man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann) und man kann für x keinen Wert berechnen. Deswegen gibt es in diesem Fall KEINE Lösung.