Lineare Kongruenzen und diophantische Gleichungen. Lineare Kongruenz 12x ≡ 44 (mod 26)

Question

Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen, welche die lineare Kongruenz 12x ≡ 44 (mod 26)

erfüllen und geben Sie anschließend die drei kleinsten natürlichen Zahlen an, welche die Kongruenz erfüllen. 

Answer 1

12x ≡ 44 (mod 26)

<=>  12x ≡ 18 (mod 26)

<=>  6x ≡ 9 (mod 13)

mod 13 gibt es nur die Klassen mit den Resten 0,1,2,3,....,12 

Probieren zeigt:

  6*0 ≡ 9 (mod 13) ist falsch

6*1 ≡ 9 (mod 13) ist falsch

6*2 = 12  ≡ 9 (mod 13) ist falsch

6*3 = 18   ≡ 5 (mod 13)  also nicht    ≡ 9 (mod 13)

6*4 = 24   ≡ 11 (mod 13)  also nicht    ≡ 9 (mod 13)

6*5 = 30   ≡ 4 (mod 13)  also nicht    ≡ 9 (mod 13)

6*6 = 36   ≡ 10 (mod 13)  also nicht    ≡ 9 (mod 13)

6*7 = 42   ≡ 3 (mod 13)  also nicht    ≡ 9 (mod 13)

6*8 = 48   ≡ 9 (mod 13)  Treffer  ! 

Die anderen tun es alle nicht, also sind die drei kleinsten 

8,  21 und 34.