Gewinngrenze und -schwelle quadratischer Funktionen

Question

K(x) = 0.25x²+8

beschreibt die Gesamtkosten eines Betriebs. Der Preis des Produktes beträgt 3,8 GE je ME.

a) Berechne die Gewinnschwelle - und grenze.

b) Aus Wettbewerbsgründen senkt das Unternehmen den Preis. Die Gewinnschwelle liegt nun bei 5 ME. Berechne den neuen Preis.

Ich habe das bisher nur mit lineare Funktionen gemacht. Den Ansatz kenne ich, aber ich komme immer wieder auf eine negativer Zahl und daraus kann ich keine Wurzel ziehen. Oder liege ich falsch?

Wäre um Lösungswege sehr dankbar.

Answer 1

Hallo HJ,

K(x) = 0.25x² + 8 

a)

Gewinn = Erlös - Kosten =  Stückpreis * x  -  Kosten:

G(x) = 3.8 * x - ( 0.25x² + 8)  =  - 0,25 · x² + 3.8 ·x - 8

Die Gewinnschwelle x_s ist die kleinere, die Gewinngrenze x_G  die größere der beiden Nullstellen von G(x):

- 0,25 · x² + 3.8 ·x - 8 = 0   | * (-4) 

x² - 15.2 ·x + 32 = 0

pq-Formel ergibt:

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = -15.2   ;   q = 32

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

...

x_S ≈ 2.5246   ;   x_G  ≈ 12.675   [ jeweils in ME]  

b)

Die neue Gewinnfunktion ist dann 

G_P (x) =  p * x - ( 0.25x² + 8)  =  - 0.25·(x² - 4·p·x + 32)

Bei der neuen Gewinnschwelle x = 5 muss der Gewinn = 0 sein:  

Gp(5) = - 0.25·(20·p - 57) = 0   →  p_neu = 2,85  [GE]

Gruß Wolfgang

Answer 2

a)

p = 3.8

E(x) = 3.8*x

G(x) = E(x) - K(x) = 3.8*x - (0.25*x^2 + 8) = - 0.25·x^2 + 3.8·x - 8

Gewinnschwelle und -grenze G(x) = 0

- 0.25·x^2 + 3.8·x - 8 = 0 --> x = 2.525 ∨ x = 12.675

Gewinnschwelle: 2.525 ME
Gewinngrenze: 12.675 ME

b)

G2(5) = - 0.25·5^2 + p·5 - 8 = 0 --> p = 2.85 GE