Differenzierbarkeit und Stetigkeit beweisen. f(x,y) = | xy|

Question

Gegeben ist:

Meine Ideen:

(a) Die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen stetig.

(b) Hier bin ich mir nicht so sicher:

Wir untersuchen bspw. den Punkt (0,1), dann folgt: $$ \lim_{(x,y)\to(0,1)} \frac {f(h,1)-f(0,1)}{h}= \frac {|h|}{h}$$

Der Grenzwert ist nicht eindeutig bestimmbar. Die Funktion ist somit nicht part. Diffbar auf (0,1) und somit nicht part. Diffbar auf R^2.

(c) ich habe hier dann eine Abschätzung genutzt (vielleicht gibt es auch eine alternative):

$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac {|||xy|||}{\sqrt{x^2+y^2}} =0$$ Mit:$$|xy| \leq ||(x,y)||^2$$

Dann folgt:

$$ \frac {|xy|}{||(x,y)||}\leq\frac {||(x,y)||^2}{||(x,y)||}=||(x,y)||\to0$$

f ist also diffbar in (0,0)

Ist das hier korrekt? Oder gibt es auch andere Wege?

Liebe Grüße

Comments

Bei (c) fehlen mindestens drei Viertel der Rechnung. Zu untersuchen ist, ob es eine Darstellung $$f(h,k)=f(0,0)+ah+bk+r(h,k)$$ mit Zahlen \(a,b\in\mathbb{R}\) und einem Restterm \(r(h,k)\in o(\lVert(h,k)\rVert)\) gibt. Man will da von Dir wissen, was Du für \(a\) und \(b\) genommen hast, und ob für diese Wahl dann auch wirklich \(r(h,k)\in o(\lVert(h,k)\rVert)\) gilt.