Binäre Relationen. Ist die Kleiner-Relation " < " antisymmetrisch?

Question

ich als Informatiker suche einen Mathematiker, der mir erklären kann, warum die Kleiner Relation in unten genannten Beispiel antisymmetrisch sein soll, genauer gesagt benötige ich einen Beweis da die Behauptung nicht belegt ist.

Die Relation R ist eine Teilmenge des katesischen Produktes aus der Menge zweiter natürlicher Zahlen (inklusive 0). xRy genau dann, wenn x < y.

Gemäß meiner Definition tritt Antisymmetrie nur dann auf, wenn die Tuple (x,y) und (y,x) ein Element der Relation R sind und x dann gleich y ist.

Alle Unds sind für mich als Informatiker logische Unds, spricht alle 3 Bedingungen müssen erfüllt sein, um sagen zu können, dass die Antisymmetrie erfüllt ist.

Das ist scheinbar nicht der Fall, nur finde ich meinen Denkfehler nicht.

Mein Gegenbeweis, dass oben genannten Beispiel nicht antisymmetrisch ist:

(3,5) trifft zu (true), (5,3) jedoch nicht -> logische Schlussfolgerung: nicht antisymmetrisch.

Auch finde ich kein Beispiel-Tuple, bei dem die ersten beiden Bedingungen erfüllt sind.

PS: Seit wann ist 0 eine natürliche Zahl?

Comments

"PS: Seit wann ist 0 eine natürliche Zahl?"

1. Antwort: Seit die 0 erfunden wurde. Das ist noch nicht so lange her, wie dass man die 1, 2, 3, ... erfunden hat.

2. Antwort: Es werden unterschiedliche Definitionen von ℕ (mit und ohne 0) verwendet. Schaue in deinen Unterlagen nach, was bei euch (eurem Lehrer / Dozenten) gilt. https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Bezeichnungskonventionen

Answer 1

Die Definition ist

$$\text{'$<$' antisymmetrisch}\,\,:\Longleftrightarrow\,\,\forall x,y:\,x<y\,\wedge\, y<x\,\Longrightarrow\, x=y.$$

Die Praemisse ist immer falsch, eine Zahl kann nicht kleiner und gleichzeitig groesser als eine weitere sein. Damit ist die Implikation immer wahr. Motto: Aus Falschem folgt Beliebiges.

Die Relation \(\text{'$<$'}\) ist also tatsaechlich antisymmentrisch. Bedeutung hat das allerdings keine, da man die Antisymmetrie von \(\text{'$<$'}\) nie zur Anwendung bringen kann. Es ist nur so, dass man ganz schlecht behaupten kann, \(\text{'$<$'}\) waere nicht antisymmetrisch. Fuer diese Behauptung muesste man naemlich ein Gegenbeispiel angeben koennen. Gibt aber keines.