Was tut man mit den Punkten N und M Um den Durchstoßpunkt zu bekommen? Wie geht die Ebenengleichung?

Question

Aufgabe:

Ein Vogel startet von seinem Nest in N(-5/-3/6) in Richtung eines Mückenschwarms im Punkt M(5/3/4). Untersuchen Sie, ob die Flugbahn des Vogels durch die „Schattenebene" des Baumes verläuft und berechnen Sie gegebenenfalls den Durchstoßpunkt S". Verwenden Sie für die Ebenendarstellung der Schattenebene in Parameterform den Punkt F als Aufpunkt.

allgemeine infos:

der Fußpunkt des baums:

F(-1/5/0) Baum hat eine Höhe von 9m Sonnenstrahlen fallen in Richtung v= (1/-1/-3)

Die Schattenspitze hab ich berechnet und ist S(-1/5/9) Da der schatten in der x1x2 ebene liegt, habe ich eine gleichung aufgestellt: g:x: =(-1/5/9) +k*(1/-1/-3) und die ebene wäre dann 0

wenn man dann k ausrechnet ist es 3 und wenn man k in gerade g einsetzt kommt (2/2/0) also der schattenpunkt in der x1x2 ebene raus.

Was muss ich jetzt tun mit den Punkten N und M Um den Durchstoßpunkt zu bekommen und allgemein wie muss ich vorgehen?

Answer 1

Berechne die Flugbahn des Vogels durch die Punkte \(M\) und \(N\) und bestimme dann den Durchstoßpunkt mit der Schattenebene, sofern existent. Dazu brauchst du aber zunächst die Parametergleichung der Schattenebene. Hier hilft eine Skizze.

Comments

Wäre die Flugbahn des Vogels nicht:

g:x:(-5/-3/6) +r*(5/3/4)?

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Nein, der Richtungsvektor passt nicht. Da steht "in Richtung des Punktes". Du brauchst also den Vektor \(\overrightarrow{NM}\).

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achso, also: g:x:(-5/-3/6) +r*(10/6/-2)?

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Ja, genau so. :)

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und Wie genau komme ich auf die Ebenendarstellung der Schattenebene in Parameterform? Wir wissen ja schon, dass F der Aufpunkt ist, aber weiter komme ich nicht

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F zur Spitze des Baumes und F zum Schattenpunkt sind die beiden Spannvektoren.

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sind die spannvektoren dann: (0/0/-9) und (-3/3/0)?

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Ich würde da eher (0 0 9) nehmen.

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und der zweite vektor ist der richtig?

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Ja, das passt.

Answer 2

Verwenden Sie für die Ebenendarstellung der Schattenebene in Parameterform den Punkt F als Aufpunkt.

Die Schattenebene verläuft auch noch durch den Punkt \(S\) und (laut deiner Rechnung) durch den Punkt \((2|2|0)\).

Stelle die Parametergleichung dieser Ebene mit ...

Verwenden Sie für die Ebenendarstellung der Schattenebene in Parameterform den Punkt F als Aufpunkt.

... \(\vec{OF}\) als Stützvektor auf.

Ein Vogel startet von seinem Nest in N(-5/-3/6) in Richtung eines Mückenschwarms im Punkt M(5/3/4).

Stelle die Parametergleichung der Geraden auf, die durch die Punkte \(N\) und \(M\) verläuft.

Untersuchen Sie, ob die Flugbahn des Vogels durch die „Schattenebene" des Baumes verläuft

Prüfe ob Gerade und Ebene einen gemeinsamen Punkt haben.

Comments

ixh rechne es kurz

Answer 3

Schattenebene = Flugbahn

[-1, 5, 9] + r·[0, 0, -1] + s·[1, -1, -3] = [-5, -3, 6] + t·[10, 6, -2] -->  r = -6 ∧ s = 3.5 ∧ t = 0.75

Der Vogel durchfliegt damt zwar die Ebene in der der Schatten liegt allerdings nicht den Schatten

S = [-5, -3, 6] + 0.75·[10, 6, -2] = [2.5, 1.5, 4.5]