Question

(2x^2+5x-3):(6x^2-x-2)<0

wie kann ich diese ungleichung lösen, sodass zwei lösungen entstehen?

bitte jeweils bei den einzelnen schritten begründen, weshalb diese gemacht wurden :)

Answer 1

faktorisiere Zähler und Nenner, das ergibt dann

$$ (2x^2+5x-3):(6x^2-x-2)=\frac { 2(x-\frac { 1 }{ 2 })(x+3) }{ 6(x+\frac { 1 }{ 2 })(x-\frac { 2 }{ 3 }) }\\=\frac { (x-\frac { 1 }{ 2 })(x+3) }{ 3(x+\frac { 1 }{ 2 })(x-\frac { 2 }{ 3 }) } $$

die Stellen, an denen das Vorzeichen wechselt,  lauten aufsteigend:

-3, -1/3, 1/2, 2/3

Für x <-3 ist der Term positiv, weil 4 negative Faktoren zusammen einen positiven Wert ergeben.

Die Lösung lautet somit

x ∈ (-3,-1/2) oder

x ∈ (1/2,2/3)

Answer 2

Hallo xxx, 

(2x²+5x-3) / (6x²-x-2) < 0

mit der abc-Formel kannst du erst einmal die Nullstellen der beiden quadratischen Terme bestimmen:

ax² + bx + c = 0

x_1,2 = ( -b ± \(\sqrt[]{b^2-4ac}\) ) / (2a)

Das ergibt für 

2·x² + 5·x - 3 = 0       x = 1/2    oder   x = - 3

 6·x² - x - 2 = 0          x = 2/3    oder   x = - 1/2

Beide Terme stellen nach oben geöffnete Parabeln dar, sind also zwischen ihren Nullstellen negativ

Damit hast du den Vorzeichenverlauf der beiden Terme:

x        - ∞                - 3               - 1/2            1/2                 2/3                   ∞

T₁                  +                     -                 -                 +                   +

T₂                  +                    +                  -                -                    +

Der Bruch ist genau dann  negativ, wenn beide Terme verschiedene  Vorzeichen haben

→   Lösungsmenge  =  ] -3  ; - 1/2 [  ∪  ] 1/2  ; 2/3  [

Gruß Wolfgang

Answer 3

Hier meine Berechnungen

Falls Unklarheiten dann nachfragen.

Den 2.Fall minus / plus kann ich nachtragen.