Ganzrationale Funktion bestimmen, die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente parallel ...

Question

bestimmen sie die gleichung einer ganzrationalen funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt und deren tangente in P(-3/0) parallel zu y=6x ist

also ursprünglich habe ich den ersten Ansatz f(x)=ax³+bx² +cx+d

nun weiß ich nicht weiter...

mfg

Answer 1

deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt 

f(0) = 0 ---> Graph geht durch (0|0) 

f ' (0) = 0  → Steigung in (0|0) ist m=0 

und deren Tangente in P(-3/0) parallel zu y=6x ist

f(-3) = 0 ---> Graph geht durch (-3|0) 

f '(-3) = 6 -----> Steigung von y=6x ist m=6 

Nun hast du vier Gleichungen und 4 Unbekannte. Einfach alles zusammenstellen und dann nach den einzelnen Unbekannten auflösen. 

Comments

Alternative:

gleichung einer ganzrationalen funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt 

x=0 ist eine doppelte Nullstelle. D.h. (x-0)² ist Faktor in der Funktionsgleichung. 

und deren tangente in P(-3/0) 

x=-3 ist Nullstelle. D.h. (x+3) ist Faktor in der Funktionsgleichung. 

Schon hier weisst du 

f(x) = a* (x-0)² (x+3) 

= a*x²(x+3)

= a*(x³ + 3x²)

a kann nur noch eine Konstante sein, damit der Grad am Schluss 3 ist.

in P(-3|0) parallel zu y=6x ist.

Hier noch die Information f ' (-3) = 6 ausnützen. --> a

f(x)  =  a*(x³ + 3x²)

f '(x) = a*(3x² + 6x) 

6 = a*(3*(-3)² + 6*(-3)) 

6 = a*(27 - 18)

6 = a*(9)

6/9 = a

2/3 = a

==>>    f(x) = 2/3 * (x³ - 3x²) 

f(x) = 2/3 x³ - 2 x² 

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bei der tangente bist du auf m=6 gekommen, da die formel einer tangente bzw. liniaren funktion y=m*x+(n) lautet?

mfg

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Richtig.

Du kannst das theoretisch auch mit der Ableitung machen. Es ist aber besser (schneller), wenn du das einfach weisst.

Rechnung ist einfach:

y = 6x

y ' = 6 = m

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nice dann hab ich alles verstanden danke sehr! und man kann theoretisch alle 4 funktionen nehmen und mithilfe des GTRs bzw. unseres taschenrechners anhand linsolve lösen....

dir einen schönen abend!

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Genau! Das hast du verstanden. Eine Korrektur zur Terminologie:

" man kann theoretisch alle 4 Gleichungen nehmen und mithilfe des GTRs bzw. unseres taschenrechners anhand linsolve lösen.... "  Du suchst nur eine Funktion (nicht 4). 

Bitte gern geschehen. 

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ich habe mich falsch ausgedrückt der berechnet im Prinzp aus 4 funktionen die 1 algemeine. und noch eine frage ich weiß zwar wie ich das mit linsolve mache aber wie könnte ich das ohne einen taschenrechner berechnen also die algemeine funktion aus den 4 vorherigen funktionen?

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Ich bin jetzt hartnäckig. Das sind 4 Gleichungen (nicht Funktionen). 

" aber wie könnte ich das ohne einen taschenrechner berechnen also die algemeine funktion aus den 4 vorherigen gleichungen? "

Das hat dir doch Unknown vorgerechnet in einem Kommentar. Ich vermeide von Hand wenn immer möglich zu viele Unbekannte und komme in meiner Rechnung im Kommentar mit einer einzigen Unbekannten aus. 

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bei dem schritt y=m*x+n wie hasst du beschlossen, dass es zu f(-3)=6 wird?

weil m ist nicht gleich x? hilfe

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Da steht f '(-3) = 6 (nicht f (-3) = 6) .

Die Ableitung an der Stelle x = -3. 

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clever! weil f'(x)=steigung ist .... danke, ich liebe diese seite so sehr! besser als der gesamte mathe lk

Answer 2

Hi,

als erstes die Bedingungen aufstellen:

f(0) = 0    (Ursprung)

f'(0) = 0    (Berührt Ursprung, also waagerechte Tangente)

f(-3) = 0   (P)

f'(-3) = 6  (Parallel zur Geraden y = 6x, die Steigung ist also dieselbe mit m = 6)

Gleichungen aufstellen mit Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d und f'(x) = 3ax² + 2bx + c

d = 0

c = 0

-27a + 9b - 3c + d = 0

27a - 6b + c = 6

Lösen führt auf a = 2/3 und b = 2, also

f(x) = 2/3*x³ + 2x²

Grüße

Comments

sry, das ich mich so blöde anstelle, weil ich das thema frisch habe. Gut erklärt nur ich verstehe nicht wie du bestimmen kontest, dass c und d 0 sind. bzw. was a und b ist.

oder ist a=x und b=y?

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Dass c und d 0 sind, sollte klar verständlich sein, wenn Du mal f(0) =  0, sowie f'(0) = 0 aufstellst. Also

f(0) = 0

a*0³ + b*0² + c*0 + d = 0

d = 0

f'(0) = 0

3a*0² + 2b*0 + c = 0

c = 0

Die beiden anderen Gleichungen stelle auch so auf. Siehe dann zur Kontrolle oben. Setze da c und d ein und wir erhalten die beiden Gleichungen:

-27a + 9b = 0

27a-6b = 6

Löse die obere Gleichung auf zu 27a = 9b und setze sie in die zweite Gleichung ein:

9b - 6b = 6

3b = 6

b = 2

Damit in einer der beiden Gleichungen: a = 2/3

Alles  klar? :)

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jo aber wieso hasst du bei den letzten schritt mit -27 aufeinmal nur aus der 9 die 6 genommen?

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Das ist klar?

-27a + 9b = 0   (I)

27a-6b = 6       (II)

Dann (I) umformen:

27a = 9b

Damit in (II)

9b-6b = 6

3b = 6

b = 2

Ok? ;)

Answer 3

f(0)=0

f '(0) = 0 (Berühren = gleiche Steigung wie x-Achse --> m=0)

f(-3) =0

f '(-3) = 6

Comments

verstehe ich jetzt nicht so ganz

Answer 4

Bestimmen sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in P$(-3|0)$ parallel zu $y=6x$ ist

...deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt . Hier ist eine doppelte Nullstelle, bei einer einfachen Nullstelle würde die Achse nur geschnitten:

Weiter ist in P$(-3|0)$ eine einfache Nullstelle.

Ich verwende die Nullstellenform einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.

$f(x)=a[x^2(x+3)]=a[x^3+3x^2]$

Die Tangente an der Stelle $x=-3$ hat die Steigung $m=6$

Hierzu leite ich ab:

$f'(x)=a[3x^2+6x]$

$f'(-3)=a[27-18]=9a=6$

$a= \frac{2}{3}$

$f(x)= \frac{2}{3}[x^3+3x^2]$