Fallunterscheidung unverständlich

Question

$$Hallöle,\quad ich\quad habe\quad ein\quad paar\quad Fragen\quad zur\quad Fallunterscheidung\quad bei\quad dieser\quad Gleichung:\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { \left| x+1 \right|  }{ \left| x \right|  } <1\quad \quad x\epsilon R\diagdown \left\{ 0 \right\} \\ 1.Fall,\quad x>0:\quad Dann\quad gilt\quad \frac { \left| x+1 \right|  }{ \left| x \right|  } \quad =\frac { x+1 }{ x } =1+\frac { 1 }{ x } >1.\quad \quad Frage\quad ....\quad führt\quad dieser\quad Fall\quad überhaupt\quad auf\quad eine\quad Lösung\quad hinaus?\\ Denn\quad ersteinmal\quad wäre\quad der\quad linke\quad Teil\quad größer\quad als\quad 1,\quad was\quad ja\quad gege\quad die\quad obere\quad Bedingung\quad spricht\quad und:\quad \\ 1+\frac { 1 }{ x } >1\quad |\quad -1\quad \leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ x } >0\quad |\quad Reziproke\quad \leftrightarrow \quad x<0\quad auch\quad hier\quad ist\quad doch\quad die\quad Bedingung\quad x>0\quad nicht\quad erfüllt\quad oder\quad änders\quad sich\quad beim\quad Reziproke\quad das\quad Vorzeichen\quad gar nicht?\\ 2.\quad Fall,\quad -1\le x<0:\quad In\quad diesem\quad Fall\quad ist\quad \frac { \left| x+1 \right|  }{ \left| x \right|  } \quad =\frac { x+1 }{ -x } \quad Warum\quad wird\quad nur\quad der\quad Nenner\quad negativ?\quad =-1\quad -\frac { 1 }{ x } <1,\quad wenn\quad git\quad x<-\frac { 1 }{ 2 } .\quad \quad Bei\quad dieser\quad Umformung\quad muss\quad doch\quad aber\quad \\ das\quad Reziproke\quad angewand\quad worden\quad sein\quad und\quad damit\quad auch\quad das\quad Vorzeichen\quad gedreht?\\ 3.\quad Fall;\quad x<-1:\quad Nun\quad ergibt\quad sich\quad \frac { \left| x+1 \right|  }{ \left| x \right|  } \quad =\frac { -x-1 }{ -x } =1+\frac { 1 }{ x } <1,\quad da\quad \frac { 1 }{ x } <\quad 0.\quad \quad \quad \quad Wenn\quad ich\quad allerding\quad für\quad \frac { 1 }{ x } <\quad 0\quad das\quad Reziproke\quad anwende\quad würde\quad es\quad doch\quad aber\quad x>0\quad lauten\quad und\quad somit\quad gegen\quad die\quad Bedingung\quad x<-1verstoßen?\\ Schlussendlich\quad schrieb\quad der\quad Prof:\quad Die\quad Ungleichung\quad gilt,\quad wenn\quad x<\quad -\quad 1/2\quad ist.\\ \\ \\ \\ Könnte\quad mir\quad wer\quad bitte\quad weiterhelfen,\quad irgendwie\quad kommen\quad mir\quad hierbei\quad nur\quad fragen\quad auf.\\  \\ Bedanke\quad mich\quad wie\quad immer\quad im\quad Voraus.\quad  $$

Answer 1

1. Fall.

x > 0 widerspricht 1 + 1/x > 1 nicht.

Deine Äquivalenz 1/x > 0 ↔ x < 0, die du mit "Reziproke" begründest, ist ungültig. Es ist 1/5  > 0, trotzdem ist nicht 5 < 0.

Aufgrund von Bruchrechenregeln gilt 1/x > 0 genau dann wenn x > 0 ist (siehe "Minus mal Minus ergibt Plus" und ähnlicher Regeln, die du damals in Klasse 6 oer 7 gelernt hast).

2. Fall.

Der Nenner wird nicht negativ. Der Nenner war positiv (weil |x| positiv ist) und bleibt positiv (weil -x > 0 ist, wenn x < 0 ist).

Gleiches gilt für den Zähler. |x+1| ≥ 0 laut Definition des Betrages. Wenn x ≥ -1 ist, dann ist x+1 ≥ 0 und somit |x+1| = x+1 laut Definition des Betrages.

3. Fall.

Siehe 1. Fall.

Answer 2

| x + 1 | / | x | < 1
alleTerme sind positiv

Daher gilt auch die Aussage ( quadrieren )
( x + 1 ) ^2 / x^2 < 1^2

x^2 + 2x + 1 < x^2
2x + 1 < 0
x < - 1/2

Falls dir an einer Lösung mit Fallunterscheidung
liegt kann ich diese auch gern noch vorführen
oder deine Fragen beantworten.

Du sollst nicht unwissend sterben.