3D-Koordinatensystem und Vektoren
(1) Ein Rechteck ABCD soll in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. Bekannt ist: \( \mathrm{A}(6|-1| 3), \mathrm{B}(4|4|-1) \) und \( \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \).
Gib \( \overrightarrow{\mathrm{AB}} \) und \( |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \) an. Berechne den Flächeninhalt \( \mathrm{A} \) des Rechtecks. Zeichne den Seitenmittelpunkt \( \mathrm{M}_{\mathrm{BC}} \) ein und gib seine Koordinaten an.
Es sieht so aus, als ob der Vektor \( \overline{\mathrm{AM}_{\mathrm{BC}}} \) schräg nach unten verlaufen würde. Stimmt diese Vermutung? Begründe.
B sei der Mittelpunkt der Strecke DP. Gib die Koordinaten von \( \mathrm{P} \) an.
(2) \( \mathrm{M}(250|120| 0) \) ist die Lage eines Messgerätes auf einem Boot. \( (\mathrm{HLE}=1 \mathrm{~m}) \) Eine Bohrinsel schwimmt bei \( \mathrm{B}(-50|200| 0) \). Es existiert ein Punkt \( \mathrm{P} \) genau über \( \mathrm{B} \), der von \( \mathrm{M} \) die Entfernung \( 313 \mathrm{~m} \) besitzt. Ermittle die Koordinaten von \( \mathrm{P} \).
(3) Alle fünf Vektoren seien kollinear. Gib jeweils die 3 Komponenten der Vektoren an.
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ -1\end{array}\right) \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}-9 \\ \ldots \\ \ldots\end{array}\right) \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c}\ldots \\ 1 \\ \ldots\end{array}\right) \)
\( \overrightarrow{\mathrm{d}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{p} \\ \cdots \\ \mathrm{p}+1\end{array}\right) \quad, \mathrm{e}=\left(\begin{array}{c}\ldots \\ \ldots \\ \ldots\end{array}\right) \) und \( |\overrightarrow{\mathrm{e}}|=4 \sqrt{14} \approx 14,97 \)
