Vektor bestimmen der Halbierenden des Winkels von...

Question

Bestimmen Sie mit der Vektorrechnung einen Vektor, der die Richtung der Halbierenden des Winkels zwischen den Vektoren v=(7;-4;-4) und w=(-2;-1;2) hat. 

Danke für die Hilfe im vorhinein.

Answer 1

berechne mit dem skalarprodukt den winkel zwischen v und w. Teile den winkel durch 2. Löse nun das gl.sys. dass sich ergibt, wenn du diesen halbierten winkel in das skalarprodukt einsetzt.

Comments

Mit diesem Vorgehen erhält man auch Vektoren, die außerhalb der Ebene liegen, die durch die beiden ursprünglichen aufgespannt wird. Es ist die Gleichung für einen Kegel im Raum.

Answer 2

Bringe beide Vektoren auf die gleiche Länge und addiere sie dann. In diesem Fall ist das einfach, da \(|v|=\sqrt{72+4^2+(-4)^2}=9\) und \(|w|=\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2}=3\) ist - d.h. \(|v|=3|w|\). Somit ist ein Vektor \(h\) in Richtung der Winkelhalbierenden:

$$h=v+3w=\begin{pmatrix} 7\\ -4\\ -4 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ -7\\2 \end{pmatrix}$$

siehe Bild

(klick auf das Bild)

Gruß Werner