Steigung berechnen an der Stelle x=1 der Funktion f(x) = -x² +4x

Question

Ich komme mit einer Teilaufgabe meiner Hausaufgaben einfach nicht weiter.


Gegeben ist die Funktion f(x)= -x² + 4x

Die Frage : Welche Steigung hat f an der Stelle x=1? An welcher Stelle hat f die Steigung 0 ? Wie lautet die Gleichung der Tangente in x=1 ?


Hat jemand Tipps, wie ich vorgehen kann ? :-)


Vielen Dank !

Answer 1

Hi,

f(x) = -x^2+4x

f'(x) = -2x+4

 

Die Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt an:

f'(1) = -2*1+4 = 2

Die Steigung an der Stelle x=1 ist m=2.

 

Die Steigung 0 ist bei

f'(x) = 0 = -2x+4  |-4

-4 = -2x                |:(-2)

x=2

Bei x=2 zu finden.

 

Die Tangente an der Stelle x=1 ist beschrieben durch y=mx+b, wobei m=2 bereits bekannt ist.

Der Punkt der von der Tangente berührt wird ist f(1) = 3, also P(1|3).

Einsetzen:

3 = 2*1 + b  |-2

b=1

Die Tangente lautet y = 2x+1

 

Grüße

Answer 2

 

f(x) = -x² + 4x

Ist Dir bekannt, wie man die Steigung ganz einfach und schnell berechnen kann? Man multipliziert das x mit dem jeweiligen Exponenten und verringert ihn dann um 1, also 

f(x) = -x² + 4x¹

f'(x) = 2 * (-x^2-1) + 1 * 4 * x^1-1 = 2 * (-x¹) + 4 * x⁰ = 2 * (-x) + 4 * 1 = -2x + 4

Welche Steigung hat f an der Stelle x = 1? Einsetzen: 

f'(x) = -2 * 1 + 4 = 2

An welcher Stelle hat f die Steigung 0? 

-2x + 4 = 0

-2x = -4

x = 2

Wie lautet die Gleichung der Tangente in x = 1?

Tangenten an f an der Stelle x₀ allgemein:

y = f'(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

x₀ = 1

f'(1) = -2 + 4 = 2

(x - x₀) = (x - 1)

f(1) = -1 + 4 = 3

Alles zusammen: 

y = 2 * (x - 1) + 3

y = 2x + 1

Besten Gruß