Lin. hom. AWP, Diagonalisierbarkeit von A. y'(A) = A*y(t)

Question

Guten Tag könnte mir jemand folgende Aufgabe erklärend vorrechnen?

(a) Bestimmen Sie die Lösung des AWPs für a, b ≠ 0.

(b) Für welche b ∈ R verändert sich die Anzahl der verallgemeinerten Eigenvektoren?

(c) Für welche Werte von a beobachten Sie exponentielles Wachstum?

EDIT (Kopie aus Kommentar): Korrektur zur Aufgabenstellung a) a,b ≠ 0 oben umgesetzt.

Comments

Hier so ein Beispiel mit Zahlen (inkl. Antwort): 

https://www.mathelounge.de/482112/fundamentalsystem-komplexer-reeller-reelle-losung-bestimmen 

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Oh danke und wie löst man b) und c)?

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Zu a) ich habe den Eigenwert a und den Eigenvektor (1,0,0) raus. Was muss ich nun machen? 

Zu b) habe ich nur b=0 rausgefunden

Zu c) habe ich leider keine Ahnung..

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Korrektur zur Aufgabenstellung a) a,b ≠ 0

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Ich habe mittlerweile mit der jordankette 2 weitere linear unabhängige vektoren bestimmt:

V₂=(0,1/b,0)^T

V₃=(0,0,1/b)^T

Weiter weiß ich jetzt wirklich nicht mehr. Bräuchte nun Hilfe.

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Könnte mir jemand sagen wie man c löst??

Answer 1

Du hast einen dreifachen Eigenwert \(a\), aber nur einen linear unabhaengigen Eigenvektor \(\pmb{c}\) dazu. Eine Lösung ist dann \(e^{at}\pmb{c}\). Zwei weitere ergeben sich aus dem Ansatz \(\pmb{y}=e^{at}\pmb{p}(t)\). Die Komponenten von \(\pmb{p}(t)\) sind für die zweite Lösung linear und für die dritte quadratisch anzusetzen. 

Alternativ kannst Du die Gleichungen auch direkt loesen (ohne Lineare Algebra). Fange dazu mit der letzten an.

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Dritte Variante: \(A\) ist fast ein Jordankasten und hat jedenfalls die guenstige Form \(A=aE+N\) mit nilpotentem \(N\). Da ist dann \(e^{tA}=e^{at}e^{tN}\) ein Fundamentalsystem, das man bequem ausrechnen kann.