Messbarkeit von Abbildungen. f: R -> R2; x --> (x,0)

Question

Wie lassen sich diese beiden Teilaufgaben zeigen?

Answer 1

Hallo,

zu b): Betrachte $V \subset [0,1] \subset \mathbb{R}$ die Vitali-Menge. Dann ist  $V\times\lbrace{0\rbrace} \in \mathcal{L}^2$, da $V\times\lbrace{0\rbrace} = f(V) \subset\text{Bild}(f)\in\mathcal{L}^2$ und $(\mathbb{R}^2, \mathcal{L}^2,\lambda_2)$ ein vollständiger Maßraum ist. Beachte, dass $\lambda_2(\text{Bild}(f)) = 0$.

Nun gilt aber $f^{-1}(V \times\lbrace{0\rbrace}) = V \notin \mathcal{L}^1$, d.h. $f$ ist nicht $(\mathcal{L}^1,\mathcal{L}^2)$-messbar.