Vektorprodukt Operationen mit Klammern. (2a - 9b)x(a+b)

Question

Hi, ich soll diesmal herausfinden, welche der folgenden Antworten richtig und welche Falsch sind. Ich weiß leider njcht so richtig, wie ich hier mit den Kreuzprodukt umgehen muss, da wir bisher nur mit normalen Zahlen, aber nicht mit Gleichungen gerechnet haben. Könnt ihr mir bitte helfen, sodass ich auch verstehe, warum dass Ergebnis so sein muss?

Answer 1

Hallo Martin,

alle Variablen und 0 sind Vektoren:

(2a - 9b) x (a+b)  =_DG  (2a - 9b) x a  +  (2a - 9b) x b         [  (2a - 9b)  ist ein Vektor !]

=_DG   2a x a - 9b x a + 2a x b - 9b x b

=  2 (a x a) - 9 (b x a) + 2 (a x b) - 9 (b x b)

=    0 + 9 (axb) + 2 (axb)  - 0    =  11 (axb)  =  11a x b

Gruß Wolfgang

Answer 2

Es gelten die Distributivgesetze \(\vec{a}\times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\times \vec{b} + \vec{a}\times\vec{c}\) und \((\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a}\times \vec{c} + \vec{b}\times\vec{c}\) sowie das  Assoziativgesetz \((\alpha\cdot\vec{b})\times\vec{c} = \alpha\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\). Außerdem gilt auch \(\vec{b}\times(\alpha\cdot\vec{c}) = \alpha\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\)

Comments

Ich komme mit der Hilfestellung leider nicht so recht weiter. Zumal ich bei den vorgegebenen Vektoren gar kein c gegeben habe.

Wie kann ich denn diese (2a - 9b) x (a+b) am besten vereinfachen?

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> Zumal ich bei den vorgegebenen Vektoren gar kein c gegeben habe

Bei Formeln geht es um die Form, nicht um Buchstaben. Sonst würde es ja nicht "Formel" heißen, sondern "Buchstabel". Formeln verwendet man so:

Man hat einen Term

        \((2\vec{a}-9\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})\)

und eine Formel

         \((\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a}\times \vec{c} + \vec{b}\times\vec{c}\)

Man bemerkt, dass der Term auf die linke Seite der Formel passt wenn man in dem Term

• das \((\vec{a} + \vec{b})\) duch \(\vec{c}\) ersetzt,
• das \(2\vec{a}\) durch \(\vec{a}\) ersetzt und
  
• das \(-9\vec{b}\) durch \(\vec{b}\) ersetzt.

Man darf also die Formel anwenden indem man den Term zu

        \(\vec{a}\times \vec{c} + \vec{b}\times\vec{c}\)

umformt, wobei man obige Ersetzungen natürlich noch rückgängig machen muss. Das heißt man muss noch

• das \(\vec{b}\) durch \(-9\vec{b}\) ersetzen,
• das \(\vec{a}\) durch \(2\vec{a}\) ersetzen und
  
• das \(\vec{c}\) durch \((\vec{a} + \vec{b})\) ersetzen.

Man bekommt dann

        \(2\vec{a}\times(\vec{a} + \vec{b}) - 9\vec{b} \times(\vec{a} + \vec{b})\).

Inbesondere solltest du dich nicht davon verrückt machen lassen, dass im Term und in der Formel die gleichen (oder unterschiedliche) Buchstaben vorkommen. Die haben in Formel und Term unterschiedliche Rollen.