DGL mit Euler Multiplikator exakt machen. (1+x/y) - (x^2/y^2)*dy/dx = 0 , x ∈ (0,2) und Anfangswert y(1)=1

Question

Gegeben ist die Dgl: (1+x/y) - (x^2/y^2)*dy/dx = 0 , x ∈ (0,2)  und Anfangswert y(1)=1

Gesucht ist ein Euler Multiplikator der nur von x/y abhängt und die Dgl ist explizit zu lösen.

Answer 1

Multipliziere die Gleichung mit dx

----->

P= 1+x/y

Q=  -x^2/y^2

Py = -x/y^2

Qx=-2x/y^2

->nicht exakt  Py ≠  Qx

Den Multiplkator ermittelst  Du mit der Formel:

μ(x)=  e^{ -∫ 1/Q (dQ/dx -dP/dy)} dx

μ(x)= = 1/x

Jetzt multiplizierst Du die Gleichung mit dem Faktor und siehst diese

ist nun exakt. -1/y^2 =-1/y^2

Jetzt berechnest Du die DGL

F(x.y)= ∫ P(x,y) dx=∫ (1/x+1/y) dx

F(x.y)=  ln|x| +x/y

F(x.y)=  ln|x| +x/y +φ (y) ->nach y ableiten

-x/y^2 +φ '(y) = -x/y^2

φ '(y) =0

φ (y) =0

--->

ln|x| +x/y= C

y= x/(C-ln|x|)

mit der AWB:

Endlösung:

y= x/(1 -ln|x|)

Comments

Kannst du mir sagen was das für eine Formel ist um den Euler Multiplikator zu bestimmen?

---

Sollte das nicht φ (y) = C sein?

φ '(y) =0 

φ (y) =0