bitte um hilfe: körperbildung

Question

Wir definieren:

Q [ wurzel 2] := {a + b( wurzel 2) | a,b e(element) e Q} c R

Zeigen sie dass Q[wurzel 2] zusammen mit der üblichen Addition und multiplikation von reellen zahlen einen Körper bildet.

Answer 1

Da es eine Teilmenge vom Körper ℝ ist, musst du nur die Eigenschaften

für Teilkörper prüfen, also

Abgeschlossenheit bzgl. der beiden Verknüpfungen

0 und 1 enthalten

zu jedem  x auch -x enthalten und

zu jedem y ≠ 0 ist auch y^-1 enthalten.

Abgeschlossen bzgl mal etwa so:

Seien  x = a+b√2   und y = c+d√2  aus  Q[√2 ]

Dann ist x*y = ac+2bd + (ad+bc)√2  also auch

von der Form n+m√2 mit n,m aus Q; denn Q ist ja auch ein Körper

also auch aus  Q[√2 ].

Entsprechend bei + und etwa

zu y≠0 ist auch y^-1 darin:

Sei y = c+d√2   und  y≠0 dann ist

y^-1  = 1 / (c+d√2  )  erweitert mit c-d√2   gibt

        = (c-d√2 ) / ( c² - d² )   Nenner ist nicht 0 wegen  y≠0

   = c /  ( c² - d² )   +  (-  d /  ( c² - d² ) ) √2

also auch von  der Form n+m√2  also auch aus  Q[√2 ].

Answer 2

Körperaxiome:

1. Es gibt ein neutrales Element der Addition
2. Es gibt zu jedem Element ein inverses Element bezüglich der Addtion
3. Die Addition ist assoziativ
4. Die Addition ist kommutativ
5. Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation
6. Es gibt zu jedem Element außer dem neutralen Element der Additionein ein inverses Element bezüglich der Multiplikation
7. Die Multiplikation ist assoziativ
8. Die Multiplikation ist kommutativ
9. Es gelten die zwei Distributivgesetze.

Die Punkte 3, 4, 7, 8 und 9 werden aus ℝ geerbt, weil ℚ[√2] ⊂ ℝ ist, und die gleichen Verknüpfungen verwendet werden. Wenn 1, 2, 5 und 6 gelten sollen, dann müssen aus gleichem Grund die  Elemente mit den entsprechenden Elementen aus ℝ identisch sein. Es stellen sich dahingehend also lediglich folgende Fragen.

1. Ist 0 ∈ ℚ[√2]?
2. Ist 1 ∈ ℚ[√2]?
3. Ist -(a+b√2) ∈ ℚ[√2]?
4. Ist 1/(a+b√2) ∈ ℚ[√2]?

Die ersten beiden lassen sich leicht durch Wahl geeigneter a und b in a+b√2 zeigen.

Die dritte Frage erfordert Behandlung von Klammern und negativen Zahlen wie du es in Klasse 6 oder 7 gelernt hast.

Die vierte Frage kannst du beantworten, indem du mit (a-b√2), den Zähler ausmultiplizierst und Bruchrechenregeln anwendest.

Ein Detail bleibt noch zu erwähnen: Addition und Multiplikation müssen Vernüpfungen auf ℚ[√2] sein. Das heißt, addierst oder multiplizierst du zwei Zahlen aus ℚ[√2], dann muss das Ergebnis ebenfalls in ℚ[√2] liegen. Prüfe also, ob

        (a₁ + b_1√2) + (a₂ + b_2√2)

und

        (a₁ + b_1√2) · (a₂ + b_2√2)

mit a₁, b₁, a₂, b₂ ∈ ℚ ebenfalls auf die Form

        (a + b_√2)

mit a,b∈ℚ gebracht werden können.