Beweis mit vollständiger Induktion (mit Summenzeichen)

Question

Hallo :)

Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe, bei der ich die Aussage

(∑ i )² = ∑ i³  für alle n ∈ ℕ

mit vollständiger Induktion beweisen soll. Die Summen laufen beide jeweils von i = 1 bis n.

Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte. :)

Answer 1

$$\begin{aligned}\left(\sum_{i=1}^{n+1}i\right)^{2} & =\left(\left(n+1\right)+\sum_{i=1}^{n}i\right)^{2}\\ & =\left(n+1\right)^{2}+2\left(n+1\right)\sum_{i=1}^{n}i+\left(\sum_{i=1}^{n}i\right)^{2}\\ & =\left(n+1\right)^{2}+2\left(n+1\right)\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\sum_{i=1}^{n}i^{3}\\ & =\left(n+1\right)^{3}+\sum_{i=1}^{n}i^{3}\\ & =\sum_{i=1}^{n+1}i^{3}\end{aligned}$$

Comments

Hast du in Zeile 3 einen Faktor 2 vergessen?

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> Hast du in Zeile 3 einen Faktor 2 vergessen?

Nein, ich hatte einen Nenner 2 zu viel. Ich habe das mal korrigiert, indem ich einfach einen Faktor 2 hinzugefügt habe.