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Hallo liebe Community,

Ich muss 2 Aufgaben lösen und weiß nicht wie ich die Geraden konstruieren soll (Vektoren). Hier die Aufgabe:

1. Konstruieren Sie irgendeine Gerade, die in einem Abstand d=10 parallel zu der Geraden g2 :r(lamda)= 4  -6  7  + (lamda)  2  -2  1  .

2. Konstruieren Sie eine Gerade, die die Gerade g aus der Aufgabe darüber im Punkt P=(4;-6;7) in 2 einem Winkel von 45° schneidet. Ist die Lösung eindeutig ?   

Ich danke euch im voraus für jede Hilfe :)

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1 Antwort

+1 Punkt

Hallo mambo96,

zu (1): wähle einen beliebigen Vektor \(o\), der senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden steht und bewege Dich vom Aufpunkt der Geraden um 10 Einheiten in seine Richtung. In diesem Fall kann \(o\) z.B.:

$$o = \begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$

sein, da \(o \cdot (2; -2; 1)^T=0\) ist. Der Vektor \(o\) hat die Länge \(|o|=\sqrt{4+1+4}=3\), man muss ihn also um den Faktor \(10/3\) multiplizieren, um auf eine Länge von 10 zu kommen. Eine parallele Gerade \(g_P\) ist also:

$$g_P: \space r(\lambda) = \begin{pmatrix} 4\\ -6\\ 7\end{pmatrix}+ \frac{10}{3}o + \lambda \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -8/3\\ -28/3\\ 41/3\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1\end{pmatrix}$$

Tipp: falls Du keinen senkrechten Vektor findest, so kannst Du immer eine der Koordinate =0 setzen, die anderen beiden vertauschen und anschließend eine der Vertauschten negieren - also hier z.B.: \(o_2=(0; 2; 1)^T\).


zu (2) Ich nenne den Richtungsvektor von \(g_2\) mal \(d\) und den der gesuchten Geraden \(d'\). Um die Bedingung zu erfüllen, muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren

$$d \cdot d' = |d| \cdot |d'| \cdot cos (\angle (d,d')) = |d| \cdot |d'| \cdot  \frac12 \sqrt{2}$$

sein, da \(\cos 45° = \frac12 \sqrt{2}\). Nun kannst Du Dir einen  beliebigen Vektor \(d'\) aussuchen, der diese Bedingung erfüllt. Du wirst dann auch sehen, dass die Gleichung nicht eindeutig lösbar ist, da es nur eine Gleichung ist, und \(d'\) drei Koordinaten besitzt. Womit auch gleich die Frage vom Ende zu beantworten ist: "Nein - die Lösung ist nicht eindeutig."

\(45°\) ist aber auch die Richtung der Winkelhalbierenden im rechten Winkel und einen rechtwinklig zu \(d\) stehenden Vektor haben wir schon, dass ist \(o\) (s.o.). Demnach muss auch \(d'=d+o\) diese Gleichung erfüllen, da \(o\) und \(d\) die gleiche Länge haben. Es ist

$$d'=o + d = \begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -3\\ 3\end{pmatrix}$$

und die Probe mit \(|d'| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^3}= 3\sqrt{2}\):

$$d \cdot d' = 2\cdot 0 + (-2)\cdot (-3) + 1 \cdot 3 = 9$$

$$d \cdot d' = 3 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \frac12 \sqrt{2} = 9$$

stimmt also. Eine gesuchte Gerade wäre demnach

$$g_{45°}: \space r(\lambda) = \begin{pmatrix} 4\\ -6\\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0\\ -3\\ 3\end{pmatrix}$$

(Bem.: wobei man \(d'\) auch noch durch 3 teilen könnte; \(d'=(0;-1;1)^T\) wäre auch ok)

Gruß Werner

Beantwortet von 13 k

Danke vielmals :)

Könnest du mir bitte erklären warum die Lösung nicht eindeutig ist. Habs nicht verstanden. 

Danke im voraus :)

Stelle Dir einen Kegel mit einem Öffnungswinkel von \(2 \cdot 45°=90°\) vor, dessen Spitze im Punkt \((4;-6;7)^T\) liegt und dessen Mittelachse mit der Gerade \(g_2\) übereinstimmt. Jede Gerade, die auf dem Mantel des Kegels liegt, hat zur Mittelachse \(g_2\) den Winkel \(45°\). Es gibt also unendlich viele Geraden, die diese Bedingung erfüllen.

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