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Aufgabe:

\( \prod\limits_{i=1}^{n} xi={1} \)  => \( \sum\limits_{i=1}^{n}{xi} \) ≥ n 

Problem/Ansatz:

Ich soll die Behauptung mit Hilfe der vollstänidgen Induktion zeigen, aber ich komm halt einfach nicht zum Anfang oder gar zum Ende, wäre echt nice, wenn ihr mir hier helfen könntet.

Grüße und vielen dank

von

Eine auf den Inhalt bezogene Überschrift wäre sinnvoll.

Zeige die folgende Behauptung mit Hilfe von vollständiger Induktion.

Außerdem muss es sicher xi heißen. Und es fehlt vermutlich die Voraussetzung, dass es sich um positive reelle Zahlen handelt.

steht da leider nichts zu

Ist das Schule oder Uni, Lehrbuch, Aufgabe eines Lehrers, Übungsblatt ... ? Ohne die Voraussetzung positiver Zahlen ist es Unsinn: (-1) * (-1) = 1, aber (-1) + (-1) ist sicher nicht größer oder gleich 2.

Uni und ein Übungsblatt

1 Antwort

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Klarstellung der Aufgabe: "Aus der Tatsache, dass das Produkt von n positiven und ansonsten beliebigen reellen Zahlen genau 1 ist, kann man immer schließen, dass die Summe dieser Zahlen mindestens n ist. Dies gilt für alle natürlichen Zahlen n." Mach dir mal klar, was das beispielsweise für n = 2 bedeutet: Addiert man eine beliebige positive reelle Zahl und deren Kehrwert, so ist das Ergebnis immer mindestens 2. Das wirst du vermutlich beweisen können. Im Induktionsschritt kann man das in einer etwas allgemeineren Variante gebrauchen. Das würde ich als Hilfssatz formulieren: Für alle x > 0 und alle natürlichen Zahlen n gilt $$ x^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{nx}\geq 1+\frac{1}{n}  $$Betrachte hierzu mal die Funktion, die durch den Term auf der linken Seite definiert ist.

Diesen Hilfssatz kannst du im Induktionschritt verwenden. In dem gehst du davon aus, dass du n+1 positive Zahlen hast, deren Produkt genau 1 ist. Nun kannst du natürlich nicht einfach annehmen, dass das Produkt der ersten n dieser Zahlen schon 1 ist. Nennen wir den Wert des Produktes p. Um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können, dividiere die ersten n Zahlen durch die n-te Wurzel aus p (also durch p1/n). Laut IV muss nun die Summe der "normierten" Zahlen mindestens n sein, also muss die Summe der Zahlen mindestens n*p1/n sein. Addiert man noch xn+1=1/p (da ja das Produkt aller Zahlen genau 1 ist), ist die Summe mindestens n*p1/n+1/p, nach dem Hilfssatz (Multiplikation mit n) also mindestens n+1.

von 1,3 k

Nachtrag: Letztlich handelt es sich um einen Sonderfall der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Wenn das Produkt genau 1 ist, dann auch das geometrische Mittel. Das arithmetische Mittel muss daher mindestens 1 sein, Multiplikation mit n liefert die Ungleichung.

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