Er möchte Nullstellen einer Funktion haben. Die erste sieht man deutlich bei 0. Weitere erkennt man nicht so gut. Es würde aber helfen Extrema zu kennen, da Nullstellen ja z.B. wischen Extrema auftauchen, wenn das eine Extrema oberhalb und das andere unterhalb der x-Achse ist.
f(x) = 6/5·x^5 - 5/4·x^4 - 14/3·x^3 - 1/2·x^2 + 2·x
Man kann sehen das man die Funktion sehr gut Ableiten kann
f'(x) = 6·x^4 - 5·x^3 - 14·x^2 - x + 2
Im Bereich von -3 bis +3 findet man hier gleich 2 ganzzahlige Nullstellen bei -1 und 2. Damit mache ich eine Polynomdivision oder das Horner Schema und erhalte.
f'(x) = (x + 1)·(x - 2)·(6·x^2 + x - 1)
Von dem quadratischen Term erhalte ich die Nullstellen über die abc-Formel bei 1/3 und -1/2. Die Faktorisierte Form lautet daher
f'(x) = 6·(x + 1)·(x - 2)·(x - 1/3)·(x + 1/2)
Ich errechne die Funktionswerte an den Extrema
f(-∞) = -∞
f(-1) = - 17/60
f(-1/2) = - 631/960
f(1/3) = 77/180
f(2) = - 254/15
f(∞) = ∞
Damit kann das Nullstellen unserer Funktion zwischen -1/2 und 1/3 (da liegt die Nullstelle 0), zwischen 1/3 und 2 und zwischen 2 und ∞ geben.
Die genauen Nullstellen kann man dann über das Newtonverfahren finden. Ich würde mit einem Startwert zwischen den Extremas beginnen.
Als weitere Nullstellen erhalte ich dann
x = 0.5851177020 ∨ x = 2.537133320
