Grenzwert von (x(a^{1/x} - 1)) für alle positiven reellen Zahlen a>0.

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe.

Berechnen Sie  für alle positiven reellen Zahlen a > 0.

Berechnen Sie den Grenzwert von (x(a^{1/x} - 1)) für alle positiven reellen Zahlen a.

Answer 1

Hi,

$$\lim \left(x\left(a^{\frac1x}-1\right)\right) = \lim \frac{a^{\frac1x}-1}{\frac1x}$$

Nun l'Hospital

$$\lim a^{\frac1x}\cdot \ln(a)$$

$$=\ln(a) \lim a^{\frac1x}\quad|\text{Der Exponent ist in der Betrachtung 0, der Grenzwert also 1}$$

$$= \ln(a)$$

Alles klar?

Grüße

Comments

Ja, vielen Dank für eine ausführliche Lösung. Gruß

Answer 2

Das Ergebnis ist ln(a). Vielleicht findest du ja heraus, wie man das begründen kann?

Answer 3

Schreibe  x( a^{1/x} -1) um in:

(a^{1/x} -1)/ (1/x)

Du hast dann den Ausdruck 0/0, wende kann L'Hospital an.

Ergebnis :ln(a)