Question

Bestimmen Sie die Anfangswerte a1 ∈ [0, ∞) für welche die durch rekursiv definierte Folge (an)n∈N konvergiert.

an+1 := 1 + an^2/4 für alle n ∈ N.

ich weiß bis jetzt nur wenn jede Teilfolge einer Folge konvergiert , dann konvergiert diese Folge auch. Aber wie bestimme ich eig die Anfangswerte für a1? Kann jmd. mir paar Tipps geben?

MfG

Comments

z.B. für a1=1 konvergiert ja die Folge gegen 1.25 und a1=0 gegen 1.  Also für a1=/unendlich konvergiert die an+1?

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Wie kommst du darauf, dass für a(1)=1 die Folge gegen 1.25 konvergiert? 

Das zweite Folgenglied ist 1.25 !

Um ein Gefühl für die Folge zu bekommen, lohnt es sich für die Fälle 

a(1)=0

a(1)=1/2

a(1)=1

a(1)=2

mal einige Folgenglieder zu berechnen.

Dann hat man eine Vermutung, wann es konvergiert und wann nicht.

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ja das meinte ich sorry

Answer 1

Hi, wenn die Folge konvergiert muss gelten

$$ a = 1 + \frac{a^2}{4}  $$ Diese Gleichung hat die Lösung \( a = 2 \)

Gilt \( a_0^2 > 4 \) folgt \( a_1 > 2 \). Wenn man das fortsetzt folgt auch \( a_n > 2 \). D.h. für Anfangswerte \( a_0^2 > 4 \) kann die Folge nicht konvergieren.

Das die Folge monoton wachsend ist, ist einleuchtend, da ja nur positive Terme addiert werden.

Gilt \( a_0^2 \le 4 \) folgt \( a_1^2 \le 4 \). Induktiv schliesst man, dass auch \( a_n^2 \le 4 \) gilt. Damit ist die Folge für die Anfangswerte \( a_0^2 \le 4 \) beschränkt und somit konvergent.

D.h. für \( -2 \le a_0 \le 2 \) ist die Folge konvergent, ansonsten divergent.

Comments

Danke für die Antwort. Ich habe noch eine Frage dazu und zwar verstehe ich nicht ganz wieso folgt an>2 wenn a0^2>4 a1>2 gelten?

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und das anders rum auch wieso gilt an^2<=4 wenn nach a0^2<=4 a1^2<=4 folgt.

MfG

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Wenn \( a_n^2 > 4 \) gilt, dann folgt $$  a_{n+1} = 1 + \frac{a_n^2}{4} > 2 $$ also \( a_{n+1}^2 > 4 \)

Umgekehrt

Ist \(  a_n^2 \le 4 \) gilt, dann folgt $$  a_{n+1} = 1 + \frac{a_n^2}{4} \le 2 $$ also \( a_{n+1}^2 \le 4 \)

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OK jetzt habe ich verstanden. und die Grenzwerte von den Anfangswerten berechne ich so, indem ich a0 in die Folge einsetze oder?

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Was meinst Du mit Grenzwert vom Anfangswert. Der Anfangswert ist eine Zahl und keine Folge.

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Bestimmen Sie die Anfangswerte a1 ∈ [0, ∞) für welche die durch an+1 rekursiv definierte Folge (an)n∈N konvergiert. Berechnen Sie auch die jeweiligen Grenzwerte. So lautet die Aufgabenstellung. also ich hab gemeint, ob ich jetzt die Anfangswerte -2<=a0<=2 in die Folge einsetze

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In meiner ersten Antwort habe ich doch gezeigt, dass es nur einen Grenzwert gibt, egal welchen Anfangswert Du einsetzt, er mus nur zwischen -2 und +2 liegen, dann ist der Grenzwert immer 2.

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meine Frage dazu ist ob man den Schritte $$ a_0 > 2 \Rightarrow a_1 > 2 \Rightarrow a_n >2 \land a_0 \le 2 \Rightarrow a_1 \le 2 \Rightarrow a_n \le 2 $$beweisen muss? 

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Genau das wollte ich auch fragen...

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Ja, das sollte man schon. Ist aber doch einfach, oder?

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Ich habe noch nicht verstanden wieso die Folge für $$a_n > 2$$ nicht konvergiert und wieso sie zwischen 0 und 2 konvergiert?

Ich steh grad etwas auf dem Schlauch was den Beweis angeht den ich vorher erwähnt habe.

Kannst du mir hier den ersten teil kurz nochmal erklären und mir den beweis zeigen?

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Ich weiss nicht wie ich noch helfen kann. Den Beweis nochmal hinzuschreiben macht ja keinen Sinn. Schreib Deine Probleme mal konkreter auf.

Das einzige was mir noch einfällt ist das:

Die Konvergenz hängt nur vom Anfangswert \( a_0\) ab. Im Fall das der Anfangswert größer 2 ist, sind alle Folgenglieder ebenfalls größer 2. Da der Grenzwert aber 2 ist, kann die Folge ja nicht konvergieren, weil sie nie den Wert 2 erreicht.

Im anderen Fall ist die Folge monoton wachsend und beschränkt, also konvergent.