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Hallo :)

Ich soll folgende Aussage beweisen oder widerlegen:

∀n∈ℕ : n * (n + 1) * ( n + 2) ist durch 4 teilbar

oder

n * (n + 1) * (n + 2) - 2 ist durch 4 teilbar

Ich habe bereits einen Lösungsansatz mit Modulo, würde allerdings trotzdem gerne wissen, ob es noch andere Lösungsmöglichkeiten gibt (z.B. Induktion).

Danke für die Hilfe :)

von

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n * (n + 1) * (n + 2) ist mit Sicherheit eine gerade Zahl.

Jede 2. gerade Zahl ist auch durch 4 teilbar.

Sollte n * (n + 1) * (n + 2) also nicht durch 4 teilbar sein braucht man nur 2 zu subtrahieren und hat damit eine Zahl die durch 4 teilbar ist.

Für n gerade gilt n = 2*k

2k * (2k + 1) * (2k + 2) = 4·(2·k^3 + 6·k^2 + k)

Ist also durch 4 teilbar

Für n ungerade gilt n = 2*k - 1

(2*k - 1) * ((2*k - 1) + 1) * ((2*k - 1) + 2) = 8·k^3 - 2·k

Wenn k gerade ost ist der Term durch 4 teilbar. Für ungerade k 

8·k^3 - 2·k - 2 = 8·k^3 - 2·(k + 1)

ist dieses also durch 4 teilbar weil dann k + 1 gerade ist.

von 285 k

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