Beweisen Sie an → a ⇒ k √ an → k √ a

Question

Beweisen Sie für an ≥ 0, n ∈ ℕ und festes k ∈ ℕ

a_n → a  ⇒  ^k √ a_n  → ^k √ a

Answer 1

Einfachstes Argument wäre wohl.  Die Funktion f mit f(x)=x^1/k ist auf ℝ^≥0 stetig.

Aber hier soll es wohl um Nachweis anhand der Grenzwertdefinition gehen.

Sei also    (a_n )_n∈ℕ  eine Folge mit  a_n ≥ 0 für alle n∈ℕ  und  k∈ℕ .

Vielleicht habt ihr ja mal die Ungleichung

    #       |x-y| ^1/k  ≥   |  x^1/k -  y ^1/k   |  bewiesen. Dann geht es so:

Sei eps > 0.   ==>      |  a_n^1/k -  a^1/k   |   <   eps

                     <=>       ( |  a_n -  a   | )^1/k    <   eps

    und das ist wegen #  jedenfalls erfüllt, wenn erfüllt ist

                                       |  a_n -  a   | ^1/k   <    eps

also                          |  a_n -  a   |    <   eps ^1/k

      Und da wegen der Konvergenz von   (a_n )_n∈ℕ  gegen a es

für JEDES eps > 0 ein N gibt mit n>N ==>    |  a_n -  a   |    <   eps

gibt es auch für     eps ^1/k   so ein N.   q.e.d.

Comments

Ich sehe gerade:  Im letzten Schritt muss es wohl heißen:

   |  a_n -  a   |    <   eps ^k    !

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