f ∈ End(V), V ist direkte Summe aus eindimensionalen f - invarianten Unterräumen , f ist diagonalisierbar

Question

f ∈ End(V), V ist direkte Summe aus eindimensionalen f - invarianten Unterräumen , Beweisen Sie dass f diagonalisierbar ist.
Die Unterräume sind bezeichnet mit W_i für 1 ≤ i ≤ n

Das soll der Beweis sein, ich hoffe dass ich nicht völlig falsch liege. Danke für Korrektur

$$Die\quad eindimensionalen\quad Unterräume\quad { W }_{ i }\quad werden\quad von\quad Eigenvektoren\quad \\ erzeugt,\quad es\quad ist\quad f({ w }_{ i })\quad =\quad { \lambda }_{ i }{ w }_{ i }\quad mit\quad geeigenten\quad { \lambda }_{ i }\quad denn\quad die\quad { W }_{ i }\quad \\ sind\quad f-invariante\quad Unterräume,\quad es\quad gilt\quad f({ w }_{ i })\quad \in \quad { W }_{ i }\quad für \quad { w }_{ i }\quad \in \quad { W }_{ i },\quad \\ f\quad ist\quad Endomorphismus.\\ Nun\quad ist\quad f\quad diagonalisierbar,\quad wenn\quad es\quad eine\quad Basis\quad aus\quad Eigenvektoren\quad gibt.\\ Sei\quad { B }_{ Wi }\quad =\quad \left\{ { w }_{ i } \right\} \quad für\quad alle\quad 1\quad \le \quad i\quad \le \quad n\\ Da\quad \underset { 1\quad \le \quad i\quad \le \quad n }{ \bigcup } { B }_{ Wi }\quad eine\quad Basis\quad von\quad V\quad ist,\quad sind\quad die\quad { w }_{ i }\quad aus\quad eindimensionalen\\ Basen\quad { B }_{ Wi }\quad voneinander\quad linear\quad unabhängig.\\ Wegen\quad dim(V)\quad =\quad n\quad und\quad n\quad linear\quad unabhängigen\quad Eigenvektoren\quad gibt\quad es\quad \\ eine\quad Basis\quad von\quad V\quad aus\quad Eigenvekoren\quad von\quad f\quad und\quad f\quad ist\quad diagonalisierbar.$$

Comments

Klar ist das so ok. Die Aufgabe ist nur ein Spiel mit Begriffen, sonst nichts weiter.