Basen vom Kern/Bild bestimmen

Question

habe die Matrix A = 1 -1

                                    1 0

und B = 0 1

              -1 1

mit der Abbildung: f: Mat2x2(R) -> Mat2x2(R) und der Abbildungsvorschrift X -> AX+XB

Wie bestimmt man hiervon die Basen von Ker(f) und Im(f)?

Habe die Abbildungsmatrix gebildet

1 0

0 1

aber weiß nicht, wie ich vorgehen soll um die Basen des Kerns und des Bildes zu bestimmen.

Gruß

Comments

Kommentar gelöscht, da er nicht mehr zur geänderten Aufgabenstellung passte.

Answer 1

Die Abbildungsmatrix ist falsch.

Eine einfache Basis von Mat2x2(R) ist etwa

10     01     00      00
00     00     10      01

Da muss die Abb.matrix eine 4x4 Matrix sein. In der 1. Spalte steht dann

1
1
1
0

Comments

Habe die Abbildungsmatrix für die einfache Basis nun wie folgt:

1 -1 -1 0

1 2 0 -1

1 1 0 -1

0 0 1 1

Aber wie bestimmt man damit die Basen des Kerns/Bildes?

Habe die Abbildungsmatrix auf Zeilenstufenform gebracht, aber kann hieraus keine Lösung für Kern/Bild erkennen.

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Habe die Abbildungsmatrix auf Zeilenstufenform gebracht, aber kann hieraus keine Lösung für Kern/Bild erkennen.

Ich bekomme bei der Zeilenstufenform heraus:  Rang = 4,

also Kern = {0}  und Bild = Mat2x2(R)

Und war die Formel in der Abb. vorschrift  AX+BX oder  AX+XB ?

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Alles klar, Rang = 4 habe ich.

Die Formel war AX+XB.

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Steht in deiner Frage falsch. Damit hast du Oswald auf eine falsche Fährte gelockt.

Ich korrigiere das.

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Tatsächlich, habe ich doch glatt andersrum geschrieben.

Dennoch sollte auch für AX+XB gelten: Ker(f) = {0} und Im(f) = Mat2x2(R) oder?

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Ja, das stimmt. Aber "Distributivgesetz" ist dann das falsche Argument.

Answer 2

> Habe die Abbildungsmatrix gebildet

Mat2x2(R) ist ein vierdimensionaler Vektorraum.

Abbildungsmatrizen einer Abbildung von einem n-dimensionalen in einen m-dimensionalen Vektorraum sind m×n-Matrizen.

Die von dir behauptete Abbildungsmatrix kann also gar nicht die Abbildungsmatrix von f sein, weil es keine 4×4-Matrix ist.

> AX+BX

Für Matrixmultiplikation gilt das Distributivgesetz. Also ist AX+BX = (A+B)X.

Weil A+B die Einheitsmatrix ist, ist f die identische Abbildung. Also ist Kern(f) = {0} und Bild(f) = Mat2x2(R).