Summe von identisch verteilten ZV. Wie bestimme ich den Erwartungswert und die Varianz hier?

Question

Ich hab da hier diese Aufgabe. Bin mir aber überhaupt nicht sicher wie ich sie lösen kann. Ich würde sehr glücklich sein wenn mir jemand sagen würde ob ich richtig liege oder nicht.

1) E[Sn] = E[∑Xk]=E[Xk]*E[n]=n*Xk
2) Var[Sn] = Var[∑Xk]=Var[Xk]*Var[n]=n*Xk
3) Z = (Sn - μ)/σ^2 =(∑Xk - n*Xk)/n*Xk^2

Answer 1

Hi,

zu (1)
$$ \mathbb{E}(S_n) = \sum_{k=1}^n \mathbb{E}(X_k) = n \mu  $$
zu (2)
$$ \mathbb{Var}(S_n) = \mathbb{E} [ (S_n - \mathbb{E}(S_n))^2 ] = \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{k=1}^n X_k - n \mu \right)^2 \right] = \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{k=1}^n (X_k - \mu) \right)^2 \right] =  \sum_{k=1}^n \mathbb{E}(X_k - \mu)^2 = n \sigma^2 $$ wegen der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen.

Zu(3)
Sei \( T_n = \frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n} \sigma} \) dann gilt \( \mathbb{E}(T_n) = 0 \) und \( \mathbb{Var}(T_n) = 1 \)
D.h. \( T_n \sim N(0,1)  \)