Question

Ein Unternehmen stellt aus den drei Anfangsprodukten A1 , A2 und A3 die Endprodukte E1 , E2 und E3 her. Pro Mengeneinheit von E1 werden 23 Stück von A1 , 15 Stück von A2 und 17 Stück von A3 benötigt. Eine Einheit von E2 setzt sich aus 11 Stück A1 , 17 Stück A2 und 27 Stück A3 zusammen. E3 besteht aus 3 Stück A1 , 3 Stück A2 und 28 Stück A3 . Es sind 501 Stück von A1 , 379 Stück von A2 und 542 Stück von A3 auf Lager. Berechnen Sie die Produktionsmengen E1 , E2 und E3 , wenn die Lagerbestände zur Gänze verbraucht werden. Welche Menge an E1 kann hergestellt werden? (Hinweis: Von E2 werden 5 Stück erzeugt.)


kann mir hier bitte jemand helfen, wie ich den lösen kann?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ein Unternehmen stellt aus den zwei Anfangsprodukten A1 und A2 die Endprodukte E1 , E2 und E3 her.

Stichworte: produktion,matrix,mengen,gleichung

Ein Unternehmen stellt aus den zwei Anfangsprodukten A1 und A2 die Endprodukte E1 , E2 und E3 her. Der Bedarf pro Einheit eines fertigen Endprodukts sowie der Lagerbestand an A1 und A2 sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

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Denk dir ein Gleichungssystem

x von E1 und y von E2 und z von E3 dann muss gelten

23x +25y +7z = 1698

8x + ................. 2336

12x           - z  = 0

gibt x=14   y=8    z=168 

Also 168 Stück von E3.

Answer 1

Der Bedarf an den Anfangsprodukten in Abhängigkeit der Endprodukte kann man schreiben als

$$A_1 = 23E_1 + 11E_2 + 3E_3$$

$$A_2 = 15E_1 + 17E_2 + 3E_3$$

$$A_3 = 17E_1 + 27E_2 + 28E_3$$

Sind die Mengen der Anfangsprodukte \(A_i\) gegeben, so steht oben ein Lineares Gleichungsystem mit den drei Unbekannten \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\). In Matrixform:

$$A= \begin{pmatrix} 23& 11& 3\\ 15& 17& 3\\ 17& 27& 28\end{pmatrix} \cdot E= \begin{pmatrix} 501\\ 379\\ 542\end{pmatrix}$$

Die Lösung ist (siehe auch LGS-Löser von Matheretter)

$$ E= \begin{pmatrix} 19\\ 5\\ 3\end{pmatrix}$$

oder auch: \(E_1=19\), \(E_2=5\) und \(E_3=3\). Falls Du nicht weißt, wie man so ein Gleichungssystem löst, so frage bitte nochmal nach.

Comments

In diesem speziellen Fall ist das relativ einfach. Du hast den Hinweis bekommen, dass \(E_2=5\) ist. Dann benötigt man nur zwei der drei Gleichungen (da nur zwei Unbekannte übrig bleiben). Setze \(E_2\) gleich ein:

$$23 E_1 + 11 \cdot 5 + 3 E_3 = 501$$

$$15E_1 + 17 \cdot 5 + 3E_3= 379$$

Bringe den bekannten mittleren Summanden auf die linke Seite

$$23 E_1 + 3 E_3 = 501 - 11 \cdot 5 =446$$

$$15E_1  + 3E_3= 379 - 17 \cdot 5 = 294$$

Jetzt ziehe die untere Gleichung von der oberen ab. Dadurch fällt der Term mit \(E_3\) raus.

$$(23-15)E_1 + (3-3)E_3 = 446-294=152$$

Die Division durch 8 gibt \(E_1=19\).

Allgemein kannst Du solche Gleichungen mit dem Gaußschen Algorithmus lösen oder mit einem geeigneten Werkzeug.

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Ich habe eine ähnliche Rechnung (und bin Ihnen für den Rechenweg sehr dankbar) jedoch löst sich bei mir E₃ nicht auf, wie gehe ich da vor?

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So ein LGS (lineares Gleichungssystem) sollte immer mit dem Gaußschen Algorithmus zu lösen sein (Link s.o.). Ansonsten Aufgabe bitte als Frage bei Mathelounge.de einstellen und möglichst konkret sagen, wo das Problem ist.

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@Jasmin1: Er muss 34500GE in Portfeuille P2 investieren. Wenn Du wissen willst, wie der Rechenweg ist, so stelle die Aufgabe als Frage ein.