Stetigkeit von f(x)=x(1-x) mit Epsilon-Delta Definition

Question

Hi, ich soll zeigen, dass f:IR → IR mit f(x):= x(1-x) stetig ist und das anhand der ε-δ Definition. Den Ansatz hab ich, nur komm ich an der entscheidenden Stelle nicht weiter.

Also: Sei ε>0 bel. , wähle δ=? , so dass für alle x,x₀ aus IR mit |x-x₀|<δ: |f(x)-f(x₀)|=|x(1-x)-x₀(1-x₀)| ...???... < ε

Answer 1

verwende die dritte bin. Formel sowie die Dreiecksungleichung.:

|x(1-x)-x₀(1-x₀)|

=|x-x0-x^2+x0^2|

<|x-x0|+|-x^2+x0^2|

=|x-x0|+|(x0+x)*(x0-x)|

=|x-x0|+|(x0+x)|*|(x-x0)|

=|x-x0|*(1+|(x0+x)|)<δ(1+|(x0+x|)<! ε

--> δ<ε/(1+|(x0+x|)

Comments

Und wie kann man die Aussage anhand der Folgen-Charakterisierung zeigen?

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Das geht hier mithilfe der Grenzwertsätze (geht so bei allen Polynomen)

Sei xn eine Folge mit lim n---> ∞ xn=x0

Dann ist

lim n ---> ∞ f(xn)

=lim n ---> ∞ [ xn*(1-xn)]

=lim n ---> ∞ xn *lim n ---> ∞ (1-xn)

gemäß Grenzwertsätze

=f( lim n ---> ∞ xn)

=f(x0)