Basen für U + W und U ∩ W bestimmen

Question

die Unterräume
U = ⟨( 1 , 0 , 2 , − 1 ) , ( 0 , 1 , 3 , 1 )⟩ ,
W = ⟨( 1 , 1 , − 1 , 2 ) , ( 0 , 1 , 9 , − 1 )⟩
des reellen Standardvektorraums ℝ⁴

Bestimmen Sie Basen für U + W und U ∩ W.

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Titel: Finden Sie Basen für die Untervektorräume U + W, U geschnitten W

Stichworte: basis,unterraum

Betrachten Sie die Unterräume

 

U = <(1, 0, 2, -1), (0, 1, 3, 1)>

W = <(1, 1, -1, 2), (0, 1, 9, -1)

 

des reellen Standardvektorraums ℝ⁴. Bestimmen Sie Basen für U + W und U ∩ W.

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die Unterräume 
U = ⟨( 1 , 0 , 2 , − 1 ) , ( 0 , 1 , 3 , 1 )⟩ , 
W = ⟨( 1 , 1 , − 1 , 2 ) , ( 0 , 1 , 9 , − 1 )⟩ 
des reellen Standardvektorraums ℝ⁴ 

Bestimmen Sie Basen für U + W 

Alle 4 gegebenen Vektoren bilden ja ein Erzeugendensystem von U + W. Wenn sie linear unabhängig sind, ist das bereits eine Basis von U + W. Wenn nicht, stellst du einen der Vektoren als Linearkombination der andern dar und nimmst ihn aus dem Erzeugendensystem heraus. 

Sind die verbleibenden Vektoren immer noch linear abhängig, wiederholst du das Verfahren. Sonst hast du eine Basis von U + W gefunden. 

Answer 1

u1 = [1, 0, 2, -1]
u2 = [0, 1, 3, 1]
w1 = [1, 1, -1, 2]
w2 = [0, 1, 9, -1]

Für U + W schauen wir, ob wir Vektoren durch andere Vektoren ausdrücken können. Dazu lösen wir das Gleichungssystem

a·u1 + b·u2 + c·w1 + d·w2 = 0

In Abhängigkeit von d erhalten wir die Lösung

a = -d ∧ b = - 2·d ∧ c = d

Damit können wir w2 durch die anderen Vektoren darstellen und wir können u1, u2 und w1 als Basis nehmen.

U + W = {u1, u2, w1}

Für U ∩ W suchen wir Vektoren die in U und in W liegen. Dazu müsste folgendes Gleichungssystem gelöst werden.

x = a·u1 + b·u2 = c·w1 + d·w2 --> a·u1 + b·u2 - c·w1 - d·w2 = 0

Aufgrund der Lösung von oben ergibt sich dann in Abhängigkeit von d die Lösung

a = d ∧ b = 2·d ∧ c = d

Damit ist

x = 1·u1 + 2·u2 = 1·w1 + 1·w2 = [1, 2, 8, 1]

U ∩ W = {[1, 2, 8, 1]}