0 Daumen
1,8k Aufrufe
Eine Parabel 3. Ordnung ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat im Wendepunkt W die Steigung m=-3 und im Hochpunkt einen Funktionswert von +2.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
Avatar von

Weißt Du wo der Hochpunkt ist? Sonst ist die Aufgabe meiner Ansicht nach nicht zu lösen.

 

Grüße

Ich weiß nur, dass es im Hochpunkt einen Funktionswert  von +2 gibt :(  Was bedeutet das überhaupt?

Aber durch die Punktsymmetrie fallen doch zwei gerade Konstanten weg ne?!
Der Ansatz ist y=ax^3+cx

Das Problem ist, dass uns die Information über den Wendepunkt nur

f'(0)=-3

liefert.

Die Information f(0)=0 und f''(0)=0 die man ebenfalls rausholen könnten sind unbrauchbar.

Siehe unten ;)
Mit dem Ansatz f(x)=ax^3+cx

damit ist f'(x)=3ax^2+c

und f''(x)=6ax

mit der Wendepunkt Info bekommt man f'(0)=-3 also c=-3;

und für den Hochpunkt:

f'(x)=3ax^2-3=0

3ax^2=3

x^2=1/a

x=+-sqrt(1/a); damit muss a>0 sein.

Jetzt muss man noch wissen welches der beiden der Hochpunkt ist, also setzt man das in f'' ein:

f''(+sqrt(1/a))=6a*sqrt(1/a)>0

also Tiefpunkt damit ist -sqrt(1/a) ein Hochpunkt.

Damit gilt a*(-sqrt(1/a))^3-3*(-sqrt(1/a))=2.

und das kann man nach a auflösen und ist fertig.

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Eine Parabel 3. Ordnung ist punktsymmetrisch zum Ursprung,

f(x) = ax^3 + bx

hat im Wendepunkt W die Steigung m=-3

f'(0) = -3
b = -3

f(x) = ax^3 - 3x

und im Hochpunkt einen Funktionswert von +2

f'(x) = 0
3·a·x^2 - 3 = 0
x = -1/√a (HP muß links sein weil im Ursprung eine neg. Steigung ist)

f(-1/√a) = 2
2/√a = 2
a = 1

Die Funktion lautet damit

f(x) = x^3 - 3x

Avatar von 477 k 🚀
0 Daumen
f(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d;

f'(x) = 3ax^2 +2bx +c;

f''(x) = 6ax +2b;

//Funktion verläuft durch (0 | 0)
f(x=0) = 0 = d;

//Funktion hat bei x=0 die Steigung m=-3
f'(x=0) = -3 = c;

//Funktion hat einen Wendepunkt bei x=0
f''(x=0) = 0 = 2b; b = 0;

//Hochpunkt bei x=e
f(x=e) = 2 = e^3*a -3*e;

//Steigung der Funktion ist 0 an der Stelle x=e
f'(x=e) = 0 = 3*a*e^2 -3;
a = e^{-2};

//a = e^{-2}  in  2 = e^3*a -3*e einsetzen
2 = e -3e = -2e;
e = -1; -> a = 1;

a = 1;  b = 0;  c = -3;  d = 0;

f(x) = x^3 -3x;
Avatar von 3,7 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community