Zeigen, dass eine Gleichung mit Summenformel stimmt

Question

Jedes ζ ∈ μ_n , n∈ℕ hat den Betrag |ζ| = 1 und hat daher die Gestalt ζ = cos(α) +i sin(α) mit α=2kπ/n für ein k ∈ {0, …, n-1}. Außerdem weiß ich, dass μ_n eine zyklische Gruppe von der Ordnung n und μ_n Untergruppe von ℂ^x (Einheitengruppe) ist.

Ich soll zeigen:

 

Ich habe versucht das Induktiv zu zeigen, so langsam tut mir aber der Kopf weh. Ich bin mir auch nicht absolut sicher, welcher der ganzen mir bereits bekannten informationen wirklich wichtig sind.

Hat jemand eine (elegante) Lösung? (:

Answer 1

$$\zeta\ne1:\sum_{k=1}^n\zeta^k=-1+\sum_{k=0}^n\zeta^k=-1+\frac{\zeta^{n+1}-1}{\zeta-1}=-1+\frac{\zeta-1}{\zeta-1}=-1+1=0.$$

Comments

Das ist sehr hilfreich, danke!