0 Daumen
1,7k Aufrufe

Begründen Sie, warum d1 = a*√2 und d2 = a*√3 gilt.

Ich habe leider keine Erklärung gefunden. Nur, das d1 = a*√2 die Flächendiagonale ist und d2 = a*√3 die Raumdiagonale

Berechnen Sie α.

Ich habe zwei Rechenwege im Internet gefunden. Da gäbe es arctan(1/√2) und arctan(√2). Rechtwinkliges Dreieck, daher müssen α und β einen Winkel von 90° einschließen. Mit arctan(1/√2) kommt 35.264° heraus, mit arctan(√2) 54,74°.
Auf der Zeichnung sehe ich ja, dass α kleiner als β ist, somit muss α=35.264° haben. Was wäre aber, wenn die Zeichnung gar nicht gegeben wäre?
Bild Mathematik


Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen

Alles über den Pythagoras

Flächendiagonale
d1^2 = a^2 + a^2 = 2*a^2
d1 = √ ( 2a^2 ) = a * √ 2

Raumdiagonale
d2^2  = Flächendiagonale ^2 + a^2
d2^2  = 2 * a^2  + a^2 = 3 * a^2
d2 = √ ( 3a^2 ) = √ 3 * a

Avatar von 122 k 🚀

Guten Morgen und Danke, Georg. 
Gut, das wäre dann die Begründung für d1 und d2. Ich verstehe aber leider nicht den Zusammenhang zu α in diesem Fall. Ist es so, dass α den kleineren Winkel hat, weil α sowohl die Flächen- als auch die Raumdiagonale einschließt?

Ich hatte die Frage
Berechnen Sie α.
nicht gesehen.

Winkel im Dreieck unten
45 ° - 90 ° - 45 °

Räumliches Dreieck ( rechtwinklig )
Grundseite a * √ 2
Höhe a
tan ( α ) = a /  ( a * √ 2 ) = 1 / √ 2
tan ( α ) = 0.707
α  =  35.26 °

+1 Daumen

Die Erklärung liefert in beiden Fällen Pythagoras. In einem Quadrat mit der Seitenlänge a und der Diagonalen d gilt a2+a2=d2und deshalb d= √(2a2)= a√2. Die Raumdiagonale r ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten d und a,also d2+a2=r2. Hier d2 =2a2 einsetzen.

Avatar von 123 k 🚀

Danke dir, Roland. Rein interessehalber - Unser Prof. hat uns erzählt, dass es bei mehrdimensionalen Würfeln auch d3=√4*a (wenn ich mich recht erinnere). Wie würde die dann heißen?

Die Diagonale eines n-dimensionalen Würfels (was auchimmer das sein mag) ist dn=a·√n. Ein zweidimensionalwr Würfel ist dann ein Quadrat und ein eindimensionaler Würfel ist eine Strecke. Die nächsthöhere Dimension entsteht durch Verschiebung der Vorgängerdimension entlang eines Vektors (hier der Länge a).

Sehr gut erklärt. Danke dir, Roland.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community