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Aufgabe:

a) In einem Würfel bilden die Raumdiagonale e und f den Winkel ε. Wie groß ist ε bei einer Kantenlänge von 6 cm? 

b) Berechne ε für einen belieben Würfel mit der Seitenlänge a.

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4 Antworten

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TAN(ε/2) = (1/2·a) / (1/2·√(a^2 + a^2)) = √2/2

ε = 2·ATAN(√2/2) = 70.53°

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Wenn du es dir einzeichnest, bzw. die Abbildung betrachtest, fällt auf, dass die Raumdiagonalen ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

von 13 k

Ja es sind 90* hab es schon verstanden

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  Den Winkel bestimmst du über das Skalarprodukt. Der  Vektor e


      e  =  (  1  |  1  |  1  )       (  1a  )


    Für den Winkel zu berechnen, benötigst du den Einheitsvektor; Normierung von ( 1a ) über den Pythagoras


     e  '  =  ( 3 ^ - 1/2 )    (  1  |  1  |  1  )      (  1b  )


  entsprechend f


    f  =  ( 3 ^ - 1/2 )    (  -  1  |  1  |  1  )      (  2a  )

     ( Die Nebendiagonale geht auch von Vorne nach Hinten und von Unten nach Oben - allerdings von Rechts nach Links .

   Skalarprodukt


 < e ' | f > = cos ( ß ) = ( 1/3 ) [ 1 * ( - 1 ) + 1 * 1 + 1 * 1 ] = 1/3   (  2b  )

von 5,5 k

Wenn ich mir die Buchseite ansehe denke ich nicht das das analytische Geometrie ist sondern recht einfache Trigonometrie.

  Vielleicht bist du ja schlauer wie ich. Ich sehe nicht, wie hier etwas andreas rauskommen könnte als das von mir ermittelte Skalarprodukt.

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Du kannst es auch so machen. Die Hälfte der Strecke der Raumdiagonale e wird wie folgt bestimmt:$$ \frac{e}{2}=\frac{6 \cdot \sqrt[]{3}}{2}=3\sqrt[]{3} \approx 5.196cm$$ Das ist jetzt ein Schenkel des Dreiecks mit dem Winkel Epsilon.Die  Raumdiagonale e entspricht der Raumdiagonle f. Wir gehen von dieser Beschriftung des Dreiecks aus: (γ=ε), c=6cm und a=5.196cm

blob.png

$$ ε=2 \cdot arcsin\left(\frac{c}{2a}\right) $$ Einsetzen:$$ε=2 \cdot arcsin\left(\frac{6}{2 \cdot 3\sqrt[]{3}}\right)\approx 70.53° $$

von 26 k

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