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hi, kann mir Jemand hier weiterhelfen?Bild Mathematik

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Klammere √x im Nenner aus den Wurzeln und kürze.

Darf man das denn? Über solch einen Schritt habe ich schon nachgedacht, aber ob dies möglich ist...

Denn hätte ich im Nenner aber sqrt(x+1)+sqrt(x-1) was ja auch nicht besser ist:)

1 Antwort

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hier hilft, den Grenzwert von zwei bekannten Termen einzugrenzen, deren Grenzwert sich leicht bestimmen lässt. Die Wurzel-Funktion ist streng monoton steigend und immer 0\ge0 - somit ist

x+xxx\sqrt{x + \sqrt{x}} \ge \sqrt{x - \sqrt{x}}

bzw. es ist auch

2xx+x+xx2xxx+xx\frac{2 \sqrt{x}}{ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}} \le \frac{2 \sqrt{x}}{ \sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}}

 =2x2xx=xx(11x)=111x \space = \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x - \sqrt{x}}} = \frac{ \sqrt{x}}{\sqrt{x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) }} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{x}} }}

Und es ist offensichtlich

limx111x=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{x}} }}=1

Damit ist zunächst gezeigt, dass der Grenzwert 1\le 1 sein muss. Weiter gilt

2xx+x+xx2xx+x+x+x=11+1x\frac{2 \sqrt{x}}{ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}} \ge \frac{2 \sqrt{x}}{ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}}

Und da offensichtlich auch

limx11+1x=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}} }}=1

ist, muss der Grenzwert genauso 1\ge 1 sein. Damit bleibt für den Grenzwert nur noch die 11 übrig.

Gruß Werner

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Das ist elegant gelöst, dankeschön

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