Binomialverteilung: Fahrprüfung in Wien

Question

Aufgabe:

Erfahrungsgemäß bestehen In Wien 2/3 der Kandidatinnen und Kandidaten die Fahrprüfungen auf Anhieb.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 25 Personen. die jeweils am selben Halbtag die Prüfung machen, höchstens 2 die Prüfung nicht schaffen?

Wie viele Kandidaten müssen zur Prüfung antreten bis mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens ein Kandidat die Prüfung nicht schafft?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an den 10 Halbtagen einer Woche mehr als 175 die Prüfung bestehen?

Erklären Sie warum und unter welchen Bedingungen die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert werden kann.

Answer 1

Erfahrungsgemäß bestehen In Wien 2/3 der Kandidatinnen und Kandidaten die Fahrprüfungen auf Anhieb.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 25 Personen. die jeweils am selben Halbtag die Prüfung machen, höchstens 2 die Prüfung nicht schaffen?

∑ (k=0 bis 2) (25 über k) * (1/3)^k * (2/3)^{25 - k} = 0.35%

Wie viele Kandidaten müssen zur Prüfung antreten bis mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens ein Kandidat die Prüfung nicht schafft?

1 - (2/3)^n > 0.9
n > 5.7

Es müssen demzufolge 6 Kandidaten antreten.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an den 10 Halbtagen einer Woche mehr als 175 die Prüfung bestehen?

∑ (k=176 bis 250) (250 über k) * (2/3)^k * (1/3)^{250 - k} = 11.73%

Erklären Sie warum und unter welchen Bedingungen die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert werden kann.

n * p * q = 250 * (2/3) * (1/3) = 55.56 > 9

Comments

warum ist p bei ihnen 1/3 ??

müsste es nicht lauten:

∑ (k=0 bis 2) (25 über k) * (2/3)^k * (1/3)^25 - k = 0.35%

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Gefragt ist doch die Wahrscheinlichkeit das 0, 1 oder 2 die Prüfung nicht schaffen. Die Wahrscheinlichkeit die Prüfung nicht zu schaffen ist aber 1/3.

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wie ist denn die letzte aufgabe zu verstehen ? erklärung dazu wäre super :)

Erklären Sie warum und unter welchen Bedingungen die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert werden kann.

n * p * q = 250 * (2/3) * (1/3) = 55.56 > 9

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Naja. warum wird die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert? 

Weil ich bei der folgenden Rechnung ein algebra-System benutzt habe

∑ (k=176 bis 250) (250 über k) * (2/3)^k * (1/3)^{250 - k} = 11.73%

Aber hier wären ja 250-176+1 = 75 Werte auszurechnen und aufzuaddieren. Wenn man da also keinen Rechner hat, der das kann ist man ganz schön aufgeschmissen. Daher ist es günstig die Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung zu nähern.

Nach Moivre und Laplace muss dann aber n * p * q > 9 erfüllt sein. Das ist hier der Fall. Außerdem wären die Grenzen stetig zu erweitern.

D.h. statt 176 nimmt man 175.5 und statt 250 nimmt man 250.5. Dann kannst du es mit der Standardnormalverteilung berechnen. Du solltest ja ca. 11.73% heraus bekommen.

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"∑ (k=176 bis 250) (250 über k) * (2/3)k * (1/3)250 - k = 11.73%

Aber hier wären ja 250-176+1 = 75 Werte auszurechnen und aufzuaddieren. Wenn man da also keinen Rechner hat, der das kann ist man ganz schön aufgeschmissen. Daher ist es günstig die Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung zu nähern."

wie mach ich das nun genau ? such ich das in der tabelle raus?? wenn ja, wie ?

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n = 250
p = 2/3
q = 1/3

μ = n * p = 166.7
σ = √(n * p * q) = 7.454

Normierte untere Grenze:
(175.5 - 166.7) / 7.454 = 1.181

1 - Φ(1.18) = 1 - 0.8810 = 0.119 = 11.9%

Das haut doch als Näherung gut hin.

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1 - (2/3)ⁿ > 0.9



müsste hier nicht 1/3 eingesetzt werden ? es geht ja darum wieviele es NICHT schaffen ?

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Deswegen rechnet man mit der Gegenwahrscheinlichkeit

P(mind. einer schafft es) = 1 - P(alle schaffen es nicht)

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ah, stimmt. gerade geschnallt. danke :)

da muss man 2 mal ums eck denken hehe :)