Beweisen Sie die folgende Ungleichung 3/4 (a+b+c) ≤ sa + sb + sc

Question

Es seien s_a , s_b , s_c die Längen der Seitenhalbierenden und а, b, с die Längen der Seiten eines Dreiecks. Beweisen Sie die folgende Ungleichung:

3/4 (a+b+c) ≤ s_a + s_b + s_c

Answer 1

Die Seitenhalbierenden treffen sich im Schwerpunkt S , der sie

im Verhältnis 2 : 1 teilt.

Betrachte das Dreieck  ABS und wende die Dreiecksungleichung an:

(2/3)s_a + (2/3)s_b   ≥ c

Entsprechend für die Dreiecke BSC und CSA  und wenn du die

drei Ungleichungen addierst hast du

(4/3) * ( s_a + s_b + s_c )  ≥ a+b+c

und das mal 3/4 beendet den Beweis.