Grenzwertsätze: Gegeben ist die Folge a(n) = (n²-1)/(n+1)^2 Grenzwert?

Question

Hidiho liebe Gemeinde.

Ich hab vor kurzem ein Test geschrieben und der Lehrer hatte vergessen, diese Aufgabe zu kontrollieren. (was ich jetzt erst gesehen habe)

Aber wollte halt wissen, ob ich bei dieser Aufgabe punkte erwarten kann oder eher nicht.

Die Aufgabe hieß "Gegeben ist die Folge a(n) = (n²-1)/(n+1)^2    Welchen Grenzwert vermuten Sie? Überprüfen Sie ihre Vermutung durch Anwendung der Grenzwertsätze!"

Also gelöst habe ich es so, dass ich hier natürlich mit Limes angefangen habe.
Lim n-> unendlich =    (n²-1)/( n²+2n+1)

Lim n->unendlich = n² (1-1/n²) / n² (1+2/n+1/n²)    hier kann ich jetzt die beiden "n²" vor der Klammer kürzen

Lim n-> unendlich   1 - 0 / 1 + 0 + 0     =1               // Halt überall null, wo vorher ein n war.  Also müsste doch der Grenzwert bei 1 liegen oder?

Comments

Im übrigen... hab ich vielleicht das falsch gemacht weil ich gerechnet habe? Weil ja drin steht "...Vermuten Sie" und noch "durch Anwednung der Grenzwertsätze"

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Oben steht: Gegeben ist die Folge a(n) = (n²-1)/(n+1)

Hast du dort das Quadrat im Nenner vergessen?

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Oh. Ja du hast recht. Entschuldigung.


Die Aufgabe ist (n² - 1 ) / (n+1)²


Kleiner tippfehler... Danke für die Aufmerksamkeit :)

Answer 1

 

also lautet die Folge

a_n = (n² - 1) / (n + 1)²

?

Der Zähler lässt sich dann schreiben als (n + 1) * (n - 1); 3. binomische Formel

a_n = (n + 1) * (n - 1) / [ (n + 1) * (n + 1) ]

Wir können durch n + 1 kürzen und erhalten

a_n = (n - 1) / (n + 1)

Bei immer größer werdendem n können das "-1" im Zähler und das "+1" im Nenner vernachlässigt werden. 

Die Folge strebt also gegen n/n = 1.

Besten Gruß

Answer 2

Der Anfang ist gar nicht schlecht.

Ganz an Schluss sollte das lim ... nicht mehr davor stehen. Ausserdem fehlen da noch Klammern.

Lim n-> unendlich

= (1 - 0) / (1 + 0 + 0 )   =1               // Halt überall null, wo vorher ein 1/n war.  Also müsste doch der Grenzwert bei 1 liegen oder?

Comments

Ja hatte auch 1 rausbekommen. Lu, du rettest mir den Tag. Jetzt muss morgen nur noch die Klausur klappen. Bei einer 3 bin ich zufrieden. :-D

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Viel Glück! Beachte noch die rote 1/n und du hast den Grenzwert einfach ausgerechnet ohne da gross zu schreiben, welchen Grenzwertsatz du gerade benutzt.