Konstruktion von Polynomen mit gewünschter Eigenschaft

Question

Komme bei den folgenden Aufgaben nicht weiter...bitte um Hilfe, wäre sehr dankbar! 

a) Welche Parabel p hat bei x=0 und x=4 Nullstellen und verläuft durch den Punkt P=(3;2)? 

b) Welches punktsymmetrische Polynom p (d.h. p ist ungerade) vom Grad 3 hat eine Nullstelle bei x=2 und verläuft durch den Punkt P=(3;75)? 

c)Welches zur y-Achse achsensymmetrische Polynom p (d.h. p ist gerade) vom Grad 4 schneidet die y-Achse bei y=3 und die x-Achse bei x=1 und x=2? 

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Du findest etliche Lösungsvorschläge unter den "Ähnlichen Fragen"!

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Bitte! :-)

                                         

Answer 1

a) Welche Parabel p hat bei x=0 und x=4 Nullstellen und verläuft durch den Punkt P=(3;2)?

f ( x ) = a * ( x -0 ) * ( x - 4 )
f ( 3 ) = a * ( 3 -0 ) * ( 3 - 4 ) = 2
a * ( 3 -0 ) * ( 3 - 4 ) = 2
a * 3 * 1 = 2
a = 2 / 3
f ( x ) =  2 / 3  * x * ( x - 4 )

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b) Welches punktsymmetrische Polynom p (d.h. p ist ungerade) vom Grad 3 hat eine Nullstelle bei x=2 und verläuft durch den Punkt P=(3;75)?

f ( x ) = a * x^3 + b * x + c
Punktsymmetrie ( 0 | 0 )
c = 0

f ( 2 ) = a * 2^3 + b * 2 = 0
f ( 3 ) = a * 3^3 + b * 3 = 75

a * 2^3 + b * 2 = 0
a * 3^3 + b * 3 = 75

Den Rest kannst du ?

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c)Welches zur y-Achse achsensymmetrische Polynom p (d.h. p ist gerade) vom Grad 4 schneidet die y-Achse bei y=3 und die x-Achse bei x=1 und x=2? 

f ( x ) = a * x^4 + b * x^2 + c
f ( 0 ) =  a * 0^4 + b * 0^2 + c = 4
c = 4

f ( x ) = a * x^4 + b * x^2 + 4
f ( 1 ) = a * 1^4 + b * 1^2 + 4 = 0
f ( 2 ) = a * 2^4 + b * 2^2 + 4 = 0

a * 1^4 + b * 1^2 + 4 = 0
a * 2^4 + b * 2^2 + 4 = 0

a  + b + 4 = 0
16a  + 4b + 4 = 0

a = 1
b = -5

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a) Welche Parabel p hat bei x=0 und x=4 Nullstellen und verläuft durch den Punkt P=(3;2)?

Die Aufgabe kann auf mehrere Arten gerechnet werden.

...bisweilen auch mit verschiedenen Ergebnissen:

https://www.mathelounge.de/498260/konstruktion-von-polynomen?show=498272#a498272

Answer 2

Komme bei den folgenden Aufgaben nicht weiter...bitte um Hilfe, wäre sehr dankbar! 

a) Welche Parabel p hat bei x=0 und x=4 Nullstellen und verläuft durch den Punkt P=(3;2)?

Ok, schauen wir mal... was hältst du von diesem Ansatz:

$$p:x\mapsto 2\cdot \dfrac{(x-0)\cdot(x-4)}{(3-0)\cdot(3-4)}$$Er besitzt die schönen Vorteile, sofort alle notwendigen Einsetzproben zu bestehen, sich selbst zu erklären und auch schon das Ergebnis darzustellen...