Funktionenschar f_t mit f_t(x)= x^3 - t^2·x + 3 . Punktsymmetrisch zum Punkt P(0I3).

Question

Gegeben ist die Funktionenschar f_t mit f_t(x) = x^3 - t^2·x + 3

Ich muss jetzt rechnerisch zeigen das alle Graphen von ft Punktsymmetrisch zum Punkt P(0I3) verlaufen und außerdem die Koordinaten der Hochpunkte von f_t sowie die zugehörige Ortskurve bestimmen soll

Am Besten mit einer Schritt-für-Schritt-Erklärung.

Answer 1

Also ich wäre wie folgt vorgegangen:

Die Funktion f_t(x) ist genau dann punktsymmetrisch zum Punkt P(0|3), wenn die Funktion g_t(x)=f_t(x)-3 punktsymmetrische zum Ursprung ist, da du die Funktion f_t(x) ja einfach um 3 Einheiten nach unten schiebst. Ursprungssymmetrie überprüft man in dem man schaut, ob g_t(x)=-g_t(-x) gilt. Das solltest du zunächst mal tun.

Comments

super dankeschön und wie kann ich daraus noch die hochpunkte und die dazu gehörige ortskurve bestimmen ?

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Bitte.

Für Extrempunkte zu bestimmen musst du die erste Ableitung gleich 0 setzten und die Lösungen bestimmen. Hinweis: Es wird zwei Lösungen geben.
Um herauszufinden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, setzt du die Lösungen nacheinander in die zweite Ableitung ein und schaust, ob diese negativ (Hochpunkt) oder positiv (Tiefpunkt) ist.
Wenn du weißt an welcher Stelle x_H dein Hochpunkt vorliegt, setzt du diese in deine Funktionsgleichung ein, damit du auch den Wert hast.

Somit hast du die Koordinate des Hochpunkts H(x_H | f_t(x_H)) in Abhängigkeit von t.

Zu guter Letzt löst du die Gleichung x_H=... (du wirst ja sehen was x_H in Abhängigkeit von t ist) nach t auf und setzt dies in f_t(x_H) ein. Du erhältst eine Gleichung die den Graphen beschreibt auf den alle Hochpunkte, die Ortskurve der Hochpunkte.