Hallo ich hab folgende Aufgabe :
und wüsste nun gerne wieso sin(4x) = Im (e^{i*4*x}) gilt.
Liebe GrüßeTobias
" wüsste nun gerne wieso sin(4x) = Im (ei*4*x) "
Das ist so definiert ;)
Ausführlicher ist ja die Definition
ei*4*x = cos(4x) + j sin(4x)
Nun nimmt man davon den Imaginärteil.
Du sollst nun allerdings mit sin(4x) = Im (ei*4*x) beginnen und das nicht mehr in Frage stellen.
es ist
$$ Im(e^{i4x})=Im(cos(4x)+isin(4x))=sin(4x) $$
gemäß eulerscher Formel.
Zu tun ist also folgendes:
$$ sin(4x)=Im(e^{i4x})=Im((e^{ix})^{4})\\=Im((cos(x)+isin(x))^4)\\=Im(sin^4(x)+cos^4(x)-6sin^2(x)cos^2(x) +i[4sin(x)cos^3(x)-4sin^3(x)cos(x)])\\=4sin(x)cos^3(x)-4sin^3(x)cos(x)\\=4sin(x)cos(x)[cos^2(x)-sin^2(x)]\\=4sin(x)cos(x)[2cos^2(x)-sin^2(x)-cos^2(x)]\\=4sin(x)cos(x)[2cos^2(x)-1]\\=8cos^3(x)sin(x)-4cos(x)sin(x) $$
> wieso sin(4x) = Im (ei*4*x) gilt
Eulersche Formel: eiφ = cos φ + i sin φ
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